漏壶
挈壶氏掌挈壶以令军井,挈辔以令舍,挈畚以令粮。凡军事,悬壶以序聚。凡丧,悬壶以代哭者。皆以水火守之,分以日夜;及冬,则以火爨鼎水而沸之,而沃之。 《周礼·夏官司马·挈壶氏》 【评】漏,就是漏壶。最早的漏壶,在上部有一个提梁,因此称为挈壶。这段《周礼·夏...
二级漏壶
以铜为器,再叠差置,实以清水,下各开孔;以玉虬吐漏水入两壶。左为夜,右为昼。 盖上又铸金铜仙人,居左壶;为金胥徒,居右壶。皆以左手抱箭,(右)有指刻,以别天时蚤(早)晚。 唐·徐坚《初学记》卷二五 【评】这是一段关于二级漏壶的记载。关于二级漏壶的出现,不晚...
多级漏壶
天圣八年八月,龙图阁待制燕肃上莲花漏法,其制琢石为四分之壶,剡木为四分之箭,以测十二辰二十四气,四隅十千洎百刻分布昼夜。凡四十八箭一气一易,岁统二百十六万分悉刻箭上铸金莲承箭铜乌,引水而下注金莲浮箭而上登不假,人力其箭自然上下司辰者,谨视而易之。其...
沙漏
七年,督修历法右参政李天经言: …… 明年,天经又请造沙漏。明初,詹希元以水漏至严寒水冻辄不能行,故以沙代水。然沙行太疾,未协天运,乃以斗轮之外复加四轮,轮皆三十六齿。厥后周述学病其窍太小,而沙易堙,乃更制为六轮,其五轮悉三十齿,而微裕其窍,运行始与晷协...
秤漏
以铜为渴乌,状如钩曲。以引器中水于银龙口中,吐入权器。漏水一升秤重一斤,时经一刻。 唐·徐坚《初学记》 【评】依据这一段描述,秤漏的结构是一个中国式秤杆,秤钩上吊着一个容器,制作者李兰称之为权器;漏水用渴乌从上面的漏壶引入权器。制造秤漏的目的之一,...
大明殿灯漏
灯漏之制,高丈有七尺,架以金为之。其曲梁之上,中设云珠,左日右月。云珠之下,复悬一珠。梁之两端,饰以龙首,张吻转目,可以审平水之缓急。中梁之上,有戏珠龙二,随珠俯仰,又可察准水之均调。凡此皆非徒设也。灯球杂以金宝为之,内分四层,上环布四神,旋当日月参辰...
影表尺
兼详隋牛弘等议,称后周太祖数苏绰造铁尺,与宋尺同,以调中律,以均田度地。唐祖孝孙云,隋平陈之后,废周玉尺,用此铁尺律,然比晋前尺长六分四氂。今司天监影表尺,和岘所谓西京铜望臬者,盖以其洛都旧物也。今以货布、错刀、货泉、大泉等校之,则景表尺长六分有奇,...
简仪
简仪之制,四方为趺,纵一丈八尺,三分去一以为广。趺面上广六寸,下广八寸,厚如上广。中布横輄三、纵輄三。南二,北抵南輄;北一,南抵中輄。趺面四周为水渠,深一寸,广加五分。四隅为础,出趺面内外各二寸。绕础为渠,深广皆一寸,与四周渠相灌通。又为础于卯酉位,广...
仰仪
仰仪之制,以铜为之,形若釜,置于砖台。内画周天度,唇列十二辰位。盖俯视验天者也。其铭辞云:“不可体形,莫天大也。无竞维人,仰釜载也。六尺为深,广自倍也。兼深广倍,洁釜兑也。环凿为沼,准以溉也。辨方正位,曰子卦也。衡缩度中,平斜再也。斜起南极,平釜镦也。...
景符
景符之制,以铜叶,博二寸,长加博之二,中穿一窍,若针芥然。以方为趺,一端设为机轴,令可开阖,榰其一端,使其势斜倚,北高南下,往来迁就于虚梁之中。窍达日光,仅如半许,隐然见横梁于其中。旧法一表端测晷。所得者日体上边之景。今以横梁取之,实得中景,不容有毫末之...
灵台的出现
经始灵台,经之营之,庶民攻之,不日成之。经始勿亟,庶民子来。王在灵囿,麀鹿攸伏、麀鹿濯濯、白鸟翯翯。王在灵沼,于牣鱼跃。 业维枞,贲鼓维镛,于论鼓钟,于乐辟雍。于论鼓钟,于乐辟雍,鼍鼓逢逢,矇瞍奏公。 《诗经·大雅·灵台》 【评】我国古代天文台既是天文观...
洛阳汉魏灵台
魏文帝黄初二年正月,郊祀天地明堂。是时魏都洛京,而神祗域明堂灵台,皆因汉旧事。 《宋书·礼志》 【评】这是关于洛阳汉魏灵台的记载。该灵台是我国现存的古代天文台遗迹之一,位于今河南省偃师县细庄公社朱圪垱大队岗上村与大郊寨之间,占地范围约四万四千平方...
周公测景台
郑司农云:土圭之长,尺有五寸,以夏至之日,立八尺之表,其景适与土圭等,谓之地中,今颍川阳城地为然。 《周礼·地官·大司徒》汉·郑玄注 ……后魏信都芳注周髀四术,称永平元年戊子,当梁天监之七年,见洛阳测影,又见公孙崇集诸朝士,共观秘书影。同是夏至日,其中影...
元司天台与观星台
至元十六年二月癸未(初六日)太史令王恂等言建司天台于大都,仪象、圭表皆铜为之;宜增铜表高四十尺,则景长而真。又请上都洛阳等五处,分置仪表,各选监候官。从之。 《元史·世祖本纪》 【评】从这段记载知道,元至元十六年在元大都(今北京)建成一座司天台,且将郭...
明观象台(北京古观象台前身)
……正统二年,行在钦天监正皇甫仲和奏言:“南京观象台设浑天仪、简仪、圭表以窥测七政行度,而北京乃止于齐化门城上观测,未有仪象。乞令本监官往南京,用木做造,挈赴北京,以较验北极出地高下,然后用铜别铸,庶几占测有凭。”从之。明年冬,乃铸铜浑天仪,简仪于北...
土圭
玉人之事。……土圭尺有五寸。以致日,以土地。 《周礼·冬官考工记·玉人》 【评】定节气是古人立表测影的最重要的目的之 一 。测量影长的量度工具之一,即为土圭。圭是一类玉器,《周礼·冬官考工记·玉人》中记载了许多不同形制和用途的圭。这段记载是关于土...
圭表
匠人建国。水地以悬。置以悬,眡以景。为规识日出之景,与日入之景。昼参诸日中之景,夜考之极星,以正朝夕。 《周礼·冬官考工记·匠人》 【评】这是关于立表定向之观测方法的最早记述,为战国时代作品。这一段记述中,已经提到许多精细、科学的方法,如:要求地面...
浑象
古旧浑象以二分为一度,凡周七尺三寸半分。张衡更制,以四分为一度,凡周一丈四尺六寸一分。蕃以古制局小,星辰稠概,衡器伤大,难可转移,更制浑象,以三分为一度,凡周天一丈九寸五分四分分之三也。 《晋书·天文志》 【评】浑象是表现天球运动的仪器,大凡在早期,该...
浑仪
案虞书:“舜在璇玑玉衡,以齐七政。”则考灵曜所谓观玉仪之游,昏明主时,乃命中星者也。璇玑中而星未中为急,急则日过其度,月不及其宿。璇玑未中而星中为舒,舒则日不及其度,月过其宿。璇玑中而星中为调,调则风雨时,庶草蕃芜,而五谷登,万事康也。所言璇玑者,谓浑...
水运仪象台
元祐间苏颂更作者,上置浑仪,中设浑象,旁设昏晓更筹,激水以运之。三器一机,吻合躔度,最为奇巧。宣和间,又尝更作之。 《宋史·天文志》 吏部尚书臣苏颂先准元祐元年冬十一月,诏皆定夺新旧浑仪,对得新仪系至道皇祐年制造并堪行,用旧浑仪系熙宁中所造,环器法薄水...
日食
惟时羲和,颠复厥德,沈乱于酒,畔宫离次,俶扰天纪,遐弃厥司。乃季秋月朔,辰弗集于房 ① ,瞽奏鼓,啬夫驰,庶人走。羲和尸厥官,网闻知,昏迷于天象,以干先王之诛 ② 。 《尚书·夏书·胤征》 [注]①辰弗集于房:指阴阳相侵发生日食。②据现代天文学家陈遵妫统计,据...
彗星
秋七月,有星孛 ① 入于北斗。 《春秋·文公十四年》 孛彗也,既见而移入北斗,非常所有,故书之。 《春秋·文公十四年》晋·杜预注 [注]①星孛:古书经常把彗星称为星孛或彗孛,还有称埽(扫帚)星等。 【评】彗星的出现是较罕见的天象,我国古代的人们早就注意它了...
月食
维三十有五祀,王念曰,正月丙子,拜望食无时。汝开后嗣,谋曰,呜呼,于来后之人。余闻在昔曰,明明非常,维德曰为明。食无时,汝夜,何修非躬,何慎非言,何择非德。 《逸周书·小开解》 丙子日望,食,月食。是日周地月食不以时,文以是循救月之典,故曰拜望,食无时。 《...
太阳黑子
石氏曰:日中有立人之象。 唐·瞿昙悉达《开元占经》卷六 汉文帝十五年(公元前一六五年)日中有王字。 《册府元龟》卷二二《符瑞一》 【评】我国古代对太阳黑子的观察,有着十分久远的历史。上面的纪事说明了这一点。 河平元年,三月乙 ① 未,日出黄,有黑气,大如...
日珥、日冕
日食而珥有云冲之十二。京氏曰:日以甲乙有四珥而蚀,有白云冲出四角,青云交贯中央。 唐·瞿昙悉达《开元占经》卷九 月正掩日,日光从四边出。 《南齐书·天文书》 日蚀而晕,傍珥,白云来去掩映。 唐·李淳风《乙巳占》 至元二十九年正月甲午朔,日有食之,有物渐...
变星
有句圜十五星属杓,曰贱人之牢。其牢中星实则囚多,虚则开出。 《史记·天官书》 口开则有赦;……,若闭口,及星入牢中,有自系死者。常夜候之,一星不见,有小喜;二星不见,则赐禄;三星不见,则人主德令且赦。远十七日,近十六日。若有客星出,视其大小,大,有大赦;小,...
新星
元光元年六月,客星见于房。 《汉书·天文志》 [注]房:是现在的天蝎座。 【评】变星分为两大类:一类是爆发型;一类是非爆发型。新星和超新星就属于爆发类型的。新星爆发中,一种爆发规模更大的新星,叫超新星。我国古代一般把新星和超新星称为“客星”。新星记事...
超新星
中平二年十月癸亥,客星出南门中,大如半筵,五色喜怒,稍小,至后年六月乃消。 《后汉书·天文志》 【评】这里不仅是我国最早的,也是世界上最早的超新星记录。这颗超新星的可见时间为公元185年12月7日到公元186年7月,位置在半人马座α与β星之间。现代天文学家已...
掩星
月行中道,安宁和平,阴间,多水,阴事。……,水发,近三尺,远五尺。犯四辅,辅臣诛。 《史记·天官书》 案:谓月犯房星也。四辅,房四星也。房以辅心,故曰四辅。 《史记·天官书》唐·司马贞索隐 月蚀岁星,其宿地,饥若亡。……,[蚀]大角,主命者恶之;……。 《史记·...
流陨星与流星雨
经十有六年,春,王正月,戊申,朔,陨石于宋五。 《春秋·僖公十六年》 【评】流星坠落到地面,便成为陨石。这里是我国史书_上最早的关于陨石落地的记载。它说明我国早在战国时代,就知道陨石是天上的流星陨落到地面上的现象。这一事实可在欧洲直到公元1803年以后...
三垣
紫微垣 紫微垣东蕃八星,西蕃七星,在北斗北,左右环列,翊卫之象也。一曰大帝之坐,天子之常居也,主命、主度也。东蕃近阊阖门第一星为左枢,第二星为上宰,三星曰少宰,四星曰上弼,五星为少弼,六星为上卫,七星为少卫,八星为少丞。其四蕃近阊阖门第一星为右枢,第二星...
二十八宿
东方七宿 角宿二星,为天关,其间天门也,其内天庭也。故黄道经其中,七曜之所行也。左角为天田,为理,主刑。其南为太阳道。右角为将,主兵。其北为太阴道。…… 按汉永元铜仪,以角为十三度;而唐开元游仪,角二星十二度。旧经去极九十一度,今测九十三度半。距星正当...
佛典星象
三馀旧加紫气,名为四馀,亦谓之四隐曜。然详求天行,实无紫气,且绝无当于推步之术,故西法弃而不录。第取三馀,一罗睺,一计都,一月孛。罗睺即白道之正交,计都即中交也。月道自南溯北,以交于黄道之一点;此点有本行,每日左旋三分有奇。而罗睺正对之点,即为计都;盖...
官图
天旋,出地上而西,入地下而东。其绕北极经七十二度常见不伏,官图内赤小规是也。谓乎恒星图也。绕南极经七十二度常伏不见,图外赤大规是也。据天地之中而察东西,则天半不见,图中赤规截娄、角者是也。 《开元占经》卷一摘引《月令章句》 【评】我国古代星图,大致...
苏州石刻天文图
太极未判,天地人三才函于其中,谓之混沌;云者,言天地人浑然而未分也。太极既判,轻清者为天,重浊者为地,清浊混者为人。轻清者气也,重浊者形也,形气合者人也;故凡气之发见于天者,皆太极中自然之理。运而为日月,分而为五星,列而为二十八舍,会而为斗极;莫不皆有常...
常熟石刻天文图
凡气之发见于天者,皆太极自然之理,运而为日月,分而为五行,列而为二十八宿,会而为斗极。若二十八宿中外官,计二百八十三座,一千五百六十五星。皆守常位是曰经星,若五行则辅佐日月,斡旋五气是曰纬星。斗极所以斟酌天之元气,观斗杓所指之辰,即一月元气所在。十二...
唐代天象铜镜
长庚之英,白虎之精。阴阳相资,山川效灵。宪天之则,法地之宁。分别八卦,顺考五行。百灵无以逃其状,万物不能遁其形。得而宝之,福禄来成。 见唐代天象铜镜之诗 【评】我国唐代年间(公元618～907年)制有天文图案的铜镜,这是公元1977年湖南省博物馆收集的一面唐代...
天文汇抄
黄道箕七度,…… 《天文汇抄》 【评】这是北京图书馆藏的古抄本《天文汇抄》第三册《三恒列舍入宿去极集》的第一句话。此书共分六册、十一种,绝大部分篇幅是标有入宿度和去极度的全天星图,绘有267座星官,共1375颗星,是一部珍贵的古代星图集。据中科院自然科...
子午线实测与纠正“寸差千里”说
南北略当千里,而影差四寸,则二百五十里而影差一寸也。况人路迂回,山川登降,方于鸟道,所校弥多,则千里之言,未足依也。 《隋书·天文志上》 【评】这是南朝梁代测定金陵(即今南京)和洛阳的日影后得出的结论。我国在南北朝时,人们根据实测结果,就开始对《周髀算...
航海术的天文观测
夫乘舟而惑者,不知东西,见斗极则寤矣。 《淮南子·齐俗训》 【评】航海的需要是天文学发展的动力之一。我国在很古的时候就开始了航海活动,在长期的航海实践中创造了观星天文导航的技术。 大海弥漫无边,不识东西,唯望日、月、星宿而进。若阴雨时,为风逐去,亦...
纪诸历要素法
岁星纪年法 君之行也,岁在大火。 《国语·晋语四》 武王伐纣,岁在鹑火。 《国语·周语》 梓慎曰:今兹宋郑其饥乎?岁在星纪,而淫于玄枵。 《左传·襄公二十八年》 过伯有氏,其门上生莠。子羽曰:“其莠犹在乎?于是岁在降娄,降娄中而旦。” 《左传·襄公三十年》...
制历方法
四分历法 历数之生也,乃立仪、表、以校日景。景长则日远,天度之端也 ① 。日发其端,周而为岁,然其景不复,四周千四百六十一日,而景复初,是则日行之终。以周除日,得三百六十五四分度之一,为岁之日数。日日行一度,亦为天度。察日月俱发度端,日行十九周,月行二百...
二十四节气
凡分至启闭必书云物,为备故也。 《左传·僖公五年》 凤鸟氏,历正也;玄鸟氏,司分者也;伯赵氏,司至者也;青鸟者,司启者也;丹鸟氏,司闭者也。 《左传·昭公十七年》 【评】历来注疏者都认为分至启闭是指二分(春、秋分)二至(夏、冬至)和四立(立春、立夏、立秋、立...
释年岁
载、岁也,夏曰岁(取岁星行一次);商曰祀(取四时一终),周曰年(取禾一熟);唐虞曰载(取物终更始)。 《尔雅·释天》晋·郭璞注 载,岁也,至日载。释曰,别年岁之名也。载即岁也。《白虎通》云,王者受命而改正朔者明易姓示不相袭也。明受之于天,不受之于人,所以变易...
释干支
数从甲子始,子母相求。 《淮南子·天文训》 太史公曰:在璇玑玉衡以齐七政,即天地二十八宿。十母,十二子,钟律调自上古。建律运历造日度,可据而度也。 《史记·律书》 甲乙者干也,子丑者枝也。 汉·班固《白虎通》 甲乙有支干,支干有加时,支干加时。 汉·王充...
星官
中官 中宫 ① 天极星,其一明者,太一常居也;旁三星三公,或曰子属。后句四星,末大星正妃,馀三星后宫之属也。环之匡卫十二星,藩臣。皆曰紫宫。 《史记·天官书》 姚氏案:《春秋元命包》云:“官之为言宣也,宣气立精为神桓”。又《文耀钩》曰:“中宫大帝,其精北极...
星官释
案:天文有五官。官者,星官也。星座有尊卑,若人之官曹列位,故曰天官。《正义》张衡云:“文耀丽乎天,其动者有七,日月五星是也。日者,阳精之宗;月者,阴精之宗;五星,五行之精。众星列布,体生于地,精成于天,列居错峙,各有所属,在野象物,在朝象官,在人象事。其以神...
冬至点测定
时刻 日发其端,周而为岁,然其景不复。四周千四百六十一日而景复初,是则日行之终。以周除日,得三百六十五四分度①之一,为岁之日数。 《后汉书·律历志下》 [注]①原文“度”字显然有误,应为日字。 【评】这段话反映的是冬至日正午日影长度四年之后变化一周的...
岁差
古历,日有常度,天周为岁终,故系星度于节气。其说似是而非,故久而益差。虞喜觉之,使天为天,岁为岁,乃立差以追其变,使五十年退一度。 《新唐书·历志三》 【评】东晋天文学家虞喜利用《尧典》中的“日短星昴”的记载,加上自己的实际观测,进行研究对照,发现经过...
日月大小辨
孔子东游,见两小儿辩斗。问其故,一儿曰:“我以日始出时去人近,而日中时远也。”一儿以日初出远,而日中时近也。一儿曰:“日初出大如车盖,及日中则如盘盂,此不为远者小而近者大乎?”一儿曰:“日初出沧沧凉凉,及其日中,如探汤,此不为近者热而远者凉乎?”孔子不...
日月食的认识
成因 日中则昊,月盈则食,天地盈虚,与时消息。 《周易·丰卦》 【评】这句话表明,我国至迟到公元前八世纪,人们已认识到月食必发生在满月。 日蚀者,月往蔽之。 汉·刘向《五经通义》 【评】因为合朔正是日、月同度,所以,从日食在朔,人们就会想到日食是月亮相掩...
日、月、行星运动规律的认识
日月如合璧,五星如连珠。 《汉书·律历志》 谓太初上元甲子夜半朔旦冬至时,候七曜皆会聚斗,牵牛分度,夜尽如合璧连珠也。 《汉书·律历志》魏·孟康·注 【评】日月合璧即为日月同升之意;五星连珠为金木水火土五星同时并见一方之意。日月合璧及五星连珠是天体...
五行星的认 识
命名 五星者即东方岁星,南方荧惑,西方太白,北方辰星,中央镇星是也。 《春秋谷梁传·注疏序》唐·杨士勋疏 水合于辰星,火合于荧惑,金合于太白,木合于岁星,土合于填星。 《汉书·律历志》 【评】现今我们知道绕着太阳运行的太行星有九个。其中以木、火、金、水...
行星动态
余观史记,考行事,百年之中,五星无出而不反逆行,反逆行,尝盛大而变色。 《史记·天官书》 古历五星并顺行,秦历始有金火之逆。又甘石并时,自有差异。汉初测候,乃知五星皆有逆行。 《隋书·天文志中》 【评】现代天文学告诉我们,火星和金星的顺、留、逆行的交替...
对彗孛的认识
石氏曰:凡彗星有四名:一名孛星;二名拂星;三名扫星;四名彗星,其形状不同。 黄帝占曰:彗星出见,本类星长可三、二尺,其炎如气,黄白孛孛然,名孛星。……长可一丈,其炎头散下垂,状如毛 ,名曰拂星。……彗星出见可二丈至三丈,形如竹木枝干,名曰扫星。三丈以至十丈,...
对流陨星的认识
星坠至地,则石也。 《史记·天官书》 【评】流星坠落到地面,便成为陨石,这一事实我国在汉代就已明确地指出并记载下来。可在欧洲,直到一八○三年以后才为人们所了解。 治平元年,常州日禺时,天有大声如雷,乃一大星几如月,见于东南;少时而又震一声,移著西南;又...
太阳黑子的认识
夫日者,天之火也……。天火之中,何故有乌?火中无生物,生物入火中,焦烂而死焉,乌安得立?……,黑子是日气也。 汉·王充《论衡·说日篇》 【评】在欧洲,直到伽利略发明望远镜以后,还有人认为黑子是行星凌日的结果,但在我国古代,人们早就确认黑子是太阳自身发生...
特点
文者象也,天,先垂文象,日月五星及彗孛皆谓以谴告一人,故曰天文。 《淮南子·天文训》汉·高诱注 国家将有失道之败,而天乃先出灾害以谴告之。 《汉书·董仲舒传》 【评】“谴告”说是董仲舒“天人感应”论的中心论点,他认为上天对统治者经常通过自然灾异进行...
天文与哲学
一阴一阳之谓道。 《易·系辞传》 天道皇皇,日月以为常。 《国语·越语》 道者,万物之所以然也。……天得之以高,地得之以藏,维斗得之以成其威,日月得之以恒其光,五常得之以常其位,列星得之以端其行,四时得之以御其变气。 《韩非子·解老》 【评】“道”是我...
天文与周易
天行健,君子以自强不息。 《易·乾卦·象传》 大观在上,顺而巽,中正以观天下。观,盥而荐,有孚 若,下观而化也。观天下之神道,而四时不忒,圣人以神道设教而天下服矣。 《易·观卦·彖传》 昔者圣人之作易也,幽赞于神明而生蓍。参天两地而倚数。观变于阴阳而立...
天文历法与律
王 ① 将铸无射,问律于伶州鸠。对曰:“律所以立均出度也。古之神瞽 ② 考中声而量之以制,度律均钟,百官轨仪,纪之以三 ③ ,平之以六,成于十二,天之道也。……。” …… 王曰:“七律者何?”对曰:“昔武王伐殷,岁在鹑火,月在天驷,日在析木之津,辰在斗柄,星在天...
天文与军事
故兵无常势,水无常形,能因敌变化而取胜者谓之神。故五行无常胜,四时无常位,日有短长,月有死生。 《孙子·虚实》 【评】五行相生、相胜、相克学说理论曾被古人广泛应用,古代军事方面也不例外。但孙子却以卓越的军事辩证思想驳斥了这种机械决定理论。这一正确...
天文学与星占
庶民惟星,星有好风,星有好雨。 《尚书·洪范》 【评】这里是较原始的星辰迷信说。说明《洪范》时代,复杂的星占术还未出现,人们只是根据星辰运行的某些规律,如某星运行到什么地方就到了刮风季节或下雨季节,给星辰附加上自然属性。另外,这时天上一颗星代表的是...
观象授时
正月,启蛰,雁北乡。雉震呴,鱼陟负冰。……。囿有见韭,时有俊风,寒日涤冻涂。田鼠出,农率均田,獭献鱼,鹰则为鸠,农及雪泽初服于公田,采云。……。柳稊,梅杏杝桃则华,缇缟,鸡桴粥。 二月,往耰黍禅,初俊羔助厥母粥。……。荣堇 ① ,采芑采蘩,昆小虫抵蚳耒降燕乃...
天文定位
东海之外,大荒之中,有山名曰大言,日月所出。 大荒之中,有山名曰合虚,日月所出。 大荒之中,有山名曰明星,日月所出。 大荒之中,有山名曰鞠陵于天,东极、离瞀,日月所出。 大荒之中,有山名曰猗天苏门,日月所生 ① 。 大荒之中,有山名曰壑明俊疾,日月所出。 《山...
坐标系
地平坐标 冬至夜极长,日出辰而入申。……。夏至昼极长,日出寅而入戌。…… 《周髀算经》卷下 【评】我国古代所使用的地平坐标最初只有地平经度,没有地平纬度。它广泛使用于日晷测量太阳出没运行的方位角上。它的产生是很早的。这里所说的,就是用十二支来表示...
极限
河伯曰:“世之议者皆曰:‘至精无形,至大不可围。’是信情乎?” 北海若曰:“夫自细视大者不尽,自大视细者不明。夫精,小之微也;垺,大之殷也;故异便。此势之有也。夫精粗者,期于有形者也;无形者,数之所不能分也;不可围者,数之所不能穷也。可以言论者,物之粗也;...
三角函数展开式
弧背求通弦法 以弧背本数为第一条 ① 。次以半径为连比例第一率,弧背为连比例第二率,求得连比例第三率 ② 。次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第四率数。四除之,又二除之,又三除之,得数为第二条,应减,另书之 ③ 。次置第二条,以三率乘之,一率除之,得第六率...
对数函数展开式
凡诸对数皆定于十之对数,而十生于单一下五、六空位零一之对数。今欲以十之对数求单一下五、六空位零一之对数,势不得不屡次开方,若借一算为单一下五、六空位零一对数,转求十之借数,即可得其比例之率。 清·戴煦《求表捷法·对数简术序》(《粤雅堂丛书三编》)...
定积分
第一,当知西人所谓点、线、面皆不能无体。…… 第二,当知体可变为面,面可变为线。…… 第三,当知诸乘方有线、面、体循环之理。一乘方为面(即平方),二乘方为体(即立方);三乘方为线(线即中法立天元之元,西法借根方之方也),四乘方复为面,五乘方复为体;六乘方复...
勾股数
今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何? 术曰:令七自乘,三亦自乘,并而半之,以为甲邪行率。邪行率减于七自乘,馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步,以甲邪行率乘之。副置十步,以乙东行率乘之,各自为...
五家共井
今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,以丙一绠;丙四绠不足,以丁一绠;丁五绠不足,以戊一绠;戊六绠不足,以甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何? 术曰:如方程,以正负术入之。(刘徽注:此率初如方程为之,名各一逮井。其后,法得七百二十一...
百鸡术
今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三;鸡雏三,直钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何? 答曰:鸡翁四,直钱二十;鸡母十八,直钱五十四;鸡雏七十八,直钱二十六。又答:鸡翁八,直钱四十;鸡母十一,直钱三十三;鸡雏八十一,直钱二十七。又答:鸡翁十二,直钱六十;鸡...
素数
凡数,他数度之不能尽,惟一可度尽者,谓之数根…… 屡乘求一考数根法:法以用数之诸方积,或大于本数,或大于半数之半者,与本数相减,馀为乘法,乘法自乘,或再乘,以本数度之,不尽,复以乘法乘之,以本数度之,如之递求。至不尽数为诸正数,或诸负数,而止。乃计共用乘法...
表示法
其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上 ① 。阴阳升降,进退左右,互通变化,错综无穷。其于盈绌隐互,正负方程,演段开方之术,精妙元绝。 《四元玉鉴》元·莫若序 以元气居中,立天勾、地股、人弦、物黄方,考图明之 ① 。上升下降,左右进...
四元消法
两仪化元 今有股幂减弦较较与股乘勾等 ① ,只云勾幂加弦较和与勾乘弦同 ② 。问股几何? 草曰:立天元一为股,地元一为勾弦和。天地配合,求之得今式,求到云式，互隐通分，消之，内二行得式，外二行得，两位相消得开方式，平方开之，得股四步，合问。 罗士琳补草...
等差级数
今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升。问中间二节欲均容,各多少? 术曰:以下三节分四升为下率,以上四节分三升为上率。(刘徽注:此二率者,各其平率也。)上、下率以少减多,馀为实。(刘徽注:按:此上、下节各分所容为率者,各其平率。上、下以少减多者,馀为中间五...
隙积术
算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类,物形备矣,独未有“隙积”一术。古法,凡算方积之物,有“立方”,谓六幂皆方者,其法再自乘则得之。有“堑堵”,谓如土墙者,两边杀,两头齐,其法:并上下广,折半以为之广,以直高乘之,又以直高...
三角垛
今有茭草,底子每面五十四束,问积几何? 术曰:副置五十四束,下位添一束,以乘上位,得二千九百七十,半之,得积 ① ,合问。 元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》 〔注〕①此实际上给出了自然数列1,2,3,……前n项和公式S=n(n+1)。它是朱世杰高阶等差级数研究的开端。...
四角垛
今有四角落一形果子积五百四十个,问底子几何? 术曰:立天元一为四角落一底子,如积求之,得六千四百八十为益实,二为从方,五为从上廉,四为从下廉,一为正隅,三乘方开之 ① ,合问。 草曰:立天元一为四角落一底子,加一得,乘天元,得,又以天元加一乘之,得,又以天元加...
岚峰垛
今有茭草三千三百六十七束,欲令岚峰形垛之,问底子几何? 术曰:立天元一为岚峰底子,如积求之,得八万八百八,为益实,二为从方,九为从上廉,十为从下廉,三为从隅,三乘方开之①,合问。 草曰:立天元一为岚峰底子,三之,得,加一得,以天元乘之,得,又以天元加一,得,乘之,...
乘方垛
太垛迭单数而成。元垛迭根数而成。一乘方垛迭平方而成。二乘方垛迭立方而成。三乘方垛迭三乘方而成。四乘方垛以上可类推 ① 。又太垛递减一迭成元垛。元垛从顶起递去一层迭成一乘方垛。一乘方垛从顶起递去一层迭成二乘方垛。二乘方垛从顶起递去一层迭成三乘...
招差法
今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,每人日支钱二百五十文,已招二万三千四百人,支钱二万三千四百六十二贯。问招来几日 ① ? 术曰:立天元一为三角落一底子,如积求之,得九万二千七百三十六为益实,六百六十为从方,一百八十一为从上廉,二十二为从...
开平方术
开方(刘徽注:求方幂之一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。(刘徽注:言百之面十也,言万之面百也。)议所得,以一乘所借一算为法,而以除①。(刘徽注:先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。)除已,倍法为定法。(刘徽注:倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,...
开立方术
开立方(刘徽注:立方适等,求其一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。(刘徽注:言千之面十,言百万之面百。)议所得,以再乘所借一算为法,而除之。(刘徽注:再乘者亦求为方幂,以上议命而除之,则立方等也。)除已,三之为定法。(刘徽注:为当复除,故豫张三面,以...
贾宪三角
开方作法本源(杨辉注:出释锁算书 ① ,贾宪用此术。) 增乘方求廉法草曰(原注:释锁求廉本源):列所开方数(原注:如前,五乘方列五位,隅算在外。)以隅算一,自下增入前位,至首位而止。(原注:首位得六,第二位得五,第三位得四,第四位得三,下一位得二。)复以隅算如前升...
益积术与减从术
中山刘先生作《议古根源》……撰成直田演段百问,信知田体变化无穷,引用带从开方正负损益之法,前古之所未闻也。 宋·杨辉《田亩比类乘除捷法序》 刘益以勾股之术治演段锁方,撰《议古根源》二百问,带益隅 ① 开方,实冠前古。 宋·杨辉《算法通变本末》卷上 [注...
增乘开方法
增乘开平方法 ① (原注:以商数乘下法,递增求之。):商第一位。上商得数以乘下法为乘方,命上商除实。上商得数以乘下法,入乘方。〔以上两“乘方”,《九章纂类》及此下“增乘开平方图”作“平方”。〕一退为廉,下法再退。商第二位,商得数以乘下法为隅,命上商除实...
之分法
……得,合以平方开之 ① 。今不可开。[四库馆臣案:不可开者,谓廉、隅数多,而得数又不能尽也。]先以隅法二十二步半乘实二万三千单二步,得五十一万七千五百四十五步正,为实。元从六百四十八负,依旧为从。一,益隅。平方开之,得四百六十五步。以元隅二十二步半约...
根与系数的关系
以不知为知,不可也,而犹可也,以不可知为知,大不可也。何可乎以不知为知,何不可乎以不可知为知?物予我以知,我暂不知,会心焉,有待也。物不任我以知,我谬附以知,见魔焉,迷不反也。嗟乎,使物有知,不且笑知已乎。故曰:知其不可知,知也。辛酉仲秋……与[江]郑堂察...
负根和重根
凡商数为正。今令之为负。则凡平方皆可开二数,立方皆可开三数或一数,三乘方皆可开四数或二数。异名相步所得为正商,同名相步所得为负商 ① 。 清·李锐《开方说》卷中(见《李氏算学遗书》) [注]①以下作者的例题中说:“以正方步负实,异名相步,得正商”。“以...
天元术
予至东平 ① ,得一算经,大概多明如积之术。以十九字识其上、下层数。曰:仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极,而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅,而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式,皆以...
历程
平阳李德载因撰《两仪群英集臻》,兼有地元。霍山 ① 邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》,末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生演数有年,探三才之赜,索《九章》之隐,按天、地、人、物立成四元。 《四元玉鉴》元·祖颐后序 [注]①霍山在今山西省霍县。 【...
勾股生变图
勾股生变十三名图 ① 。勾、股、弦并而为和,减而为较,等而为变为段,自乘为积为幂。有用而取,无用不取,立图而验之。 勾 股 弦 勾 股 较 勾 弦 较 股 弦 较 勾 股 和 勾 弦 和 股 弦 和 弦 较 和 弦 和 和 弦 和 较 弦 较 较 释 名 直 田 阔 直 田 长 田 两 隅...
勾股容方
今有勾五步,股一十二步。问勾中容方几何? 术曰:并勾、股为法,勾股相乘为实,实如法而一,得方一步。 汉《九章算术·勾股》 【评】此为勾股容方问题。已知勾a,股b,则所容正方形边长d=。是为中国古代勾股算术中一类重要问题。 勾股相乘为朱、青、黄幂各二 ① 。...
勾股容圆
今有勾八步,股一十五步。问勾中容圆径几何? 术曰:八步为勾,十五步为股,为之求弦。三位并之为法。以勾乘股,倍之为实。实如法得径一步。 汉《九章算术·勾股》 【评】此为勾股形的内切圆圆径公式d=。勾股容圆问题在宋、元时发展为数学的一个重要分支,此为其滥...
一次测望
今有邑,东西七里,南北九里,各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几何步而见木? 术曰:东门南至隅步数,以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。 汉《九章算术·勾股》 此以东门南至隅四里半为勾率,出东门一十五里为股率,南门东至隅三里半为...
重差
以土圭之法测土深,正日景以求地中。日南则景短,多暑;日北则景长,多寒;日东则景夕,多风;日西则景朝,多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中,…… 《周礼·司徒·大司徒》 景尺有五寸者,南戴日下万五千里地,与星辰四游升降于三万里之中,是以半之,得地之中也。……郑...
方程术
今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何? 方程[原本无此二字,戴震补](刘徽注:程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再...