则古昔斋算学

        《则古昔斋算学》是清代数学家李善兰的数学著作集。同治三年(1864),刘世仲就为其写好一篇序言,同年曾国藩应允助李氏刻书。同治五年(1866),曾国藩在上海筹建江南制造总局的同时,邮致三百金践其前诺。次年莫友芝为《则古昔斋算学》署检,李善兰自序,在南京发行了《则古昔斋算学》的初刻本。同治七年(1868)、光绪八年(1882),该书又有两个重刊本。除此之外,清末还有同文馆聚珍本、积山书局石印本,以及大同书局石印本。至于《则古昔斋算学》中的一些专著,如《对数探源》、《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《四元解》、《垛积比类》等,都有多种不同的单刊本或丛书本。
        李善兰(1811—1882),原名心兰,字竞芳,号秋纫,别号壬叔,浙江海宁人。早年自学《九章算术》、《几何原本》等中西数学名著,中年所造渐深,辄复著书立说。道光二十五年(1845)成《四元解》,二十八年(1848)成《麟德术解》,三十年(1850)出版《对数探源》,三十一年(1851)出版《弧矢启秘》和《方圆阐幽》。咸丰二年(1852),李善兰到上海墨海书馆,与英国人伟烈亚力(Alexander Wylie)等人合作从事科学著作的翻译,数年内相继译成《几何原本》(后9卷)、《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》、《重学》、《植物学》等书,广泛介绍西方近代数学、天文学、力学和植物学方面的成果。他在翻译中所创造的一些科学术语,一直被沿用至今。咸丰八年(1858),他在译书的间隙撰成《火器真诀》一书。自咸丰十年(1860)起,李善兰与当时的洋务派官僚集团保持着较密切的关系,徐有壬、曾国藩、李鸿章等人都对他的学术活动给予了资助。同治七年(1868),他被任命为北京同文馆天文算学总教习,他亲自选定教材,亲自授课,努力培养数学人材。同治十一年(1872),他在《中西闻见录》上发表了关于素数论的一篇论文《考数根法》,并自题为“则古昔斋算学十四”。除了《则古昔斋算学》外,李善兰还有《粟布演草》、《测圆海镜解》、《九容图表》等书出版;另有《造整数勾股级数法》、《开方古义》、《群经算学考》、《代数难题解》等书稿写成,但未曾刊行。光绪八年(1882),李善兰卒于北京同文义馆任上。
        《则古昔斋算学》共13种24卷,其子目为:《方圆阐幽》1卷、《弧矢启秘》2卷、《对数探源》2卷、《垛积比类》4卷、《四元解》2卷、《麟德术解》3卷、《椭圆正术解》2卷、《椭圆新术》1卷、《椭圆拾级》3卷、《火器真诀》1卷、《对数尖锥变法释》1卷、《级数回求》1卷、《天算或问》1卷。“则古昔斋”是李善兰的书斋名,“则”是效法的意思;李善兰又有《则古昔斋文抄》、《则古堂算学目录》等。
        《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》、《对数尖锥变法释》都涉及尖锥术;“尖锥”是李善兰所创造的一种处理幂级数问题的几何模型,他所导的尖锥求积术相当于幂函数的定积分

和逐项积分法则

李善兰应用尖锥术于对数幂级数的展开式,得到的自然对数的计算公式

应用尖锥术于二项开方式、圆面积、三角函数与反三角函数,他也得到了各种相应的无穷幂级数展开公式。
        尖锥术与中国古代的垛积术有相当大的关系,《方圆阐幽》中有所披露。《垛积比类》则是专门讨论垛积理论的一部著作,内中有一个组合公式

后来被命名为“李善兰恒等式”。书中的“三角垛有积求高开方廉隅表”和“乘方垛各廉表”,实际上就是现代组合学中的第一种斯特林(James Stirling)数和欧拉(Leonhard Euler)数。
        《则古昔斋算学》中的其它著作也都具有新意。《椭圆正术解》、《椭圆新术》、《椭圆拾遗》与行星运动的刻普勒(Johannes Kepler)定律有关,书中对行星平近点角与向径扫过面积间的关系作了研究;关于椭圆方程的解,既有级数解法,又有几何解法。《级数回求》专门讨论由幂级数展开式求其反函数的幂级数问题。《四元解》对元代朱世杰的《四元玉鉴》进行了研究。《火器真诀》是中国第一部精密科学意义上的弹道学著作,书中别具一格的图解法是几何学与力学相结合的产物;《麟德术解》是讨论唐代麟德历法的,这两部书都以数理分析为基础,所以被归为“算学”之类。《天算或问》中收集了15个数学问题(大多与天文学上的计算有关),以问答的形式一一给出了解释。
        被李善兰名为“则古昔斋算学十四”的“考数根法”,是中国数学史上第一篇完整的素数论论文。“数根”即“素数”;“考数根法”就是制定一个自然数是不是素数的方法。李善兰在文中提出了4种判别方法,又证明了费尔马(Pierre de Fermat)小定理,并指出其逆命题不真。
        从整体上来说,《则古昔斋算学》中的内容是无法与早已进入高等数学阶段的同时代西方国家的数学相比的,但是李善兰通过自己的创造性劳动,把19世纪末的中国数学引导到了高等数学的门坎。他在尖锥术、垛积术、素数论方面的成就,更引起了世人的瞩目和专家们的高度评价。诸可宝称李善兰所著书“剖析入微、奥窍尽辟,体大而思精,言简而义赅”(《畴人传三编 ·卷六》)。华世芳称《方圆阐幽》等书“以尖锥立算,发古人未发之秘”,《垛积比类》“于《九章(算术)》外别立一帜”、“考数根法”可补《几何(原本)》之未备。”(《近代畴人著述记》)。钱宝琮认为:“尖锥求积术为善兰所自创之求无穷级数之定积分术”、“尖锥求积之理论,虽未能十分严密,然在西洋微积分术未输入之前,得有此成绩,其精思妙悟,要非流辈所可几及。”(《浙江畴人著述记》)。《则古昔斋算学》,代表着中国传统数学的最高成就。