求表捷术

        《求表捷术》是清代数学家戴煦的数学著作集。戴氏稿本6册,原为杭州叶棠葵所有,后相继属上海合众图书馆和上海历史文献图书馆,今归上海市图书馆收藏。夏銮翔与戴煦为世交,同治年间将自己所录戴书副本示于友人邹伯奇,后者与同乡伍崇曜共刻《粤雅堂丛书》,遂将此书收入。除此之外,《求表捷术》还有刘铎《古今算学丛书》本和商务印书馆《丛书集成初编》本这两种版本。《求表捷术》中的第一种《对数简法》(及续)又被《小万卷楼丛书》及《皇朝经世文统编》收入。
        戴煦(1805—1860),原名邦棣,字鄂士,号鹤墅,又号仲乙,浙江钱塘(今杭州)人。少年时代就对数学感兴趣,后与同里谢家禾共习古代数学,谢氏殁后为其校刻遗书《谢谷堂算学》3种。戴煦的早年著作有《重差图说》、《勾股和较集成》、《四元玉鉴细草》等,均未出版。戴氏与当时数学名家项名达、李善兰、徐有壬、罗士琳、夏銮翔多有交流,尤其与项名达共同钻研幂级数展开式问题,颇多创获;后者死后为其续成《象数一原》。道光二十五年(1845)至咸丰二年(1852)间,戴煦陆续完成《求表捷术》中的3部书稿。他对功名仕进的态度都较淡泊,但深受其曾为广东督学的长兄戴熙和封建纲常名教的影响,道光十年(1860),太平军攻克杭州,戴煦与其长兄同日自尽。
        《求表捷术》共3种9卷,其子目为:《对数简法》2卷、续1卷,《外切密率》4卷,《假数测圆》2卷。《对数简法》前有道光二十五年(1845)项名达所作之序,《对数简法续》前有第二年项名达所作之序与作者自序。《外切密率》、《假数测圆》二种,均有作者咸丰二年(1852)序和夏銮翔于咸丰六年(1856)所写的序。
        《对数简法》及其续是讨论对数函数的幂级数展开式及对数表造法的专著。戴煦在《对数简法》中给出如下的基本公式

这是中国数学史上第一次明确记载下来的二项式平方根的展开公式。在《续对数简法》中,他又吸收了项名达的成果,给出了3个n次方根和4个整指数的二项展开式公式;研究者还指出,他对“奇零小余”的讨论,实际上已把二项展开式的指数推广到任意实数的情形。借助二项展开式公式,戴煦得出了由开方表求对数、由自然对数求常用对数、由展开式求对数,以及由三角函数的对数展开式造三角函数对数表等方法,从而推广了《数理精蕴》中所介绍的常用对数的造表法。在《外切密率》中,戴煦讨论了中国数学家未曾讨论过的正切、余切、正割、余割这4种三角函数的展开问题,共得出9个幂级数公式;研究者也指出,在讨论正割函数展开式的系数构成规律时,戴煦已得出与欧拉(LeonhardEuler)数递推公式一致的结果,并实际上算出了前10个欧拉数。《假数测圆》系利用上述著作中得到的三角函数和对数函数的幂级数展开式,进一步阐释三角函数的对数表制造方法的著作。
        《求表捷术》中的成果,一般较西方的同类工作迟出,但戴煦所使用的方法是具有特色的,尤其是他的对数研究,在19世纪的中国数学史上是最为全面和最为严密的。伍崇耀称他的工作为“前人所未曾有”,又称当时在华西人对他的著作“甚为钦服,以为理近微分”(《求表捷术·伍跋》)。英国人伟烈亚力(AlexanderWylie)在其所译《代微积拾级》的序言中也提到了戴煦的工作。据《畴人传三编》记载,英人艾约瑟(JosephEdkins)仰慕他的学问,于咸丰四年(1854)专程自上海赴杭州求见,戴氏托辞拒见,但艾约瑟后来还是将其著作译成英文寄往本国“算学公会”,由此可见戴煦的工作在当时通晓数学的西方来华人士心目中的地位。