鳖腝

        术曰:广袤相乘,以高乘之,六而一 ^①。
        

汉《九章算术·商功》

        腝者,臂骨也。或曰,半阳马,其形有似鳖肘,故以名云。中破阳马得两鳖腝,之见数即阳马之半数。数同而实据半,故云六而一,即得。
        

《九章算术·商功》三国魏·刘徽注

        [注]①按《九章算术》题设此处鳖腝是下有广,无袤,上有袤,无广,有高的四面体,显然,其四面皆为勾股形。此为鳖腝体积公式
        V=abh,
        其中a,b,h分别是下广、上袤、高。
        【评】如果已经证明了阳马体积公式,则鳖腝体积是其半。实际上,刘徽用极限方法将鳖腝与阳马结合在一起同时证明了它们的体积公式。见“极限”类。
        鳖腝之物,不同器用。阳马之形,或随修短广狭。然不有鳖腝,无以审阳马之数,不有阳马,无以知锥亭之类,功实之主也。
        

《九章算术·商功》三国魏·刘徽注

        【评】刘徽指出解决四面体的体积是多面体体积的关键,这一天才结论完全符合现代数学的体积理论。中国古代数学强调实际应用,而鳖腝并无实用,它的引入,完全是数学理论的需要。
        合四阳马以为方锥,邪画方锥之底,亦令为中方。就中方削而上合,全为中方锥之半。于是阳马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖腝焉。故外锥之半亦为四鳖腝。虽背正异形,与常所谓鳖腝参不相似,实则同也。
        

《九章算术·商功》三国魏·刘徽注

        大鳖腝皆出随(原本“皆”字阑入此,依意改)方锥 ^①,下广二尺[原本讹作“三尺”,依意改],袤六尺,高七尺。分取其半,则为袤三尺。以高、广乘之,三而一,即半锥之积也。邪解半锥得此两大鳖腝。求其积,亦当六而一,合于常率矣。按:阳马之棋两邪,棋底方。当其方也,不问旁、角而割之,相半可知也。推此上连无成 ^②不方,故方锥与阳马同实。角而割之者,相半之势。此大小鳖腝可知更相表里,但体有背正也。
        [注]①随,音义通椭。椭方锥即长方锥。②成,训层。
        

《九章算术·商功》三国魏·刘徽注

        【评】刘徽既已认识到鳖腰是解决多面体体积的“功实之主”,因此,着力解决各种形状的鳖腝即四面体的体积,此二段表明,他接近提出任何四面体体积都是其三度积的1/6。后一段用到“上连无成不方故方锥与阳马同实”的原理,亦为后来祖暅之原理的滥觞。近代西方卡瓦列利(1598—1647)的不可分量与此相近。