球

        开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。
        

汉《九章算术·少广》

        【评】此为已知球体积求球径的方法,它基于周三径一之率及错误的球体积公式V=D ₃,D为球直径。
        为术者,盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三,圆囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二,为丸率九,丸居圆囷又四分之三也。置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积,九而一,得立方之积。丸径与立方等,故开立方而除,得径也。然此意非也。何以验之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆困,径二寸,高二寸。又复横因之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马,圆然也。按合盖者,方率也;丸居其中,即圆率也。推此言之,谓夫圆囷为方率,岂不阙哉?以周三径一为圆率,则圆幂伤少。令圆囷为方率,则丸积伤多。互相通补,是以九(原本作丸,戴震改作九)与十六之率偶与实相近,而丸犹伤多耳。观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲隅形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者。
        

《九章算术·少广》三国魏·刘徽注

        【评】这是刘徽的一个极其重要的注,它指出了《九章》开立圆术的错误及其原因,设计了牟合方盖,认为球与外切方盖体积之比为π∶4,指出了解决球体积的正确途径。同时,也反映了刘徽实事求是,寄希望于后学的学者风度。
        祖暅之开立圆术曰:以二乘积,开立方除之,即立圆径。其意何也?取立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉。又合而横规之,去其前上之廉。于是立方之棋,分而为四。规内棋一,谓之内棋。规外棋三,谓之外棋。规更合四棋,复横断之。以勾股言之,令馀高为勾,内棋断上方为股,本方之数,其弦也。勾股之法,以勾幂减弦幂,则馀为股幂。若令馀高自乘,减本方之幂,馀即内[此处原本衍“减”字,李潢删]棋断上方之幂也。本方之幂,即此[原本讹作“外”,形似而误,依意改]四棋之断上幂。然则馀高自乘,即外三棋之断上幂矣。不问高卑,势皆然也。然固有所归同而涂殊者尔。而乃控远以演类,借况以析微。按:阳马方高数参等者,倒[原本讹作“列”,李潢改正]而立之,横截去上,则高自乘与断上幂数,亦等焉。夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异。由此观之,规之外三棋旁蹙为一,即一阳马也。三分立方,则阳马居一,内棋居二可知矣。合八小方成一大方,合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较然验矣。置三分之二,以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率。故曰丸居立方二分之—也。等数既密,心亦昭晰。张衡放旧,贻哂于后;刘徽循故,未暇校新。夫岂难哉,抑未之思也。依密率,此立[此二字原本误倒,钱宝琮校正]圆积本以圆径再自乘,十一乘之,二十一而一,约此积。今欲求其本积,故以二十一乘之,十一而一。凡物再自乘,开立方除之,复其本数。故开方除之,即丸径也。
        

《九章算术·少广》唐·李淳风注释

        【评】这里李淳风记述了祖暅之解决球体积的完整方法,及其理论基础——祖暅之原理,亦即后来的卡瓦列利原理。《缀术》失传之后,这是我们所知道的祖冲之父子的数学方法的唯一资料。