益积术与减从术

        中山刘先生作《议古根源》……撰成直田演段百问,信知田体变化无穷,引用带从开方正负损益之法,前古之所未闻也。
        

宋·杨辉《田亩比类乘除捷法序》

        刘益以勾股之术治演段锁方,撰《议古根源》二百问,带益隅 ^①开方,实冠前古。
        

宋·杨辉《算法通变本末》卷上

        [注]①益隅即x ²的系数为负的开方式,取《九章算术·方程》“损之曰益”之意。
        【评】到贾宪为止,中国数学著作中的开方式皆为正系数,据杨辉说,刘益首先引入了负系数开方式,是个突破。
        直田积八百六十四步。只云阔少长十二步,问长步几何?
        “益积开方”术曰:置积为实,以不及十二步为负方[原作“隅”,钱宝琮校改],开平方除之得长。
        草曰:置积八百六十四于第二级,置差十二步于第四级,为负从,置负隅一算于第五级。于第一级上商置长三十步,以乘负隅,于第三级置方法三十。以上商三十乘负从十二,添积三百六十,却除积九百,馀积三百二十四步。二因方法,共六十,改名廉法,一退,负从一退,负隅二退。又于实上商置长六步,以乘负隅一,置六于廉次,名隅。以上商六命负从,添积七十二,共积三百九十六,以廉、隅之数命上商,除实,适尽,得三十六步,合问。[文中“负隅”,疑衍“负”字。]
        “减从开方”术曰:置积为实,以不及十二步为从,减方法,开平方除之。
        草曰:依五级资次布置商、积、方法、负从、隅算。置积为实。于实上商置长三十,以乘隅算,置三十于实数之下,名曰方法。以负从十二减三十,馀一十八,命上商,除实五百四十,馀积三百二十四。复以上商三十乘隅得三十,并入方法,共四十八,退位为廉,其隅算再退。又于实上商长六步,以乘隅算得六,并入廉法,共五十四,命上商六步,除实,尽,得长三十六步,合问。
        

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

        【评】此为刘益求形如x ²-bx=A的开方式(其中b,A均为正)的正根的两种方法,即杨辉所说“带从开方正负损益之法”。前者开方中需先将商乘从加到积上,故称“益积开方术”;后者开方中需先从方法中减从法,故称“减从开方术”。它们都不是增乘开方法,而后者与增乘开方法比较接近,是为用增乘开方法解决负系数方程的认识长河中不可缺少的两环,其作五行布算,也不如贾宪方法。
        直田积八百六十四步。只云长阔共六十步。欲先求阔步,得几何?
        “益积”〔原作“益隅”,钱宝琮校正]术曰:置积为实,共步为从方,以一为益隅,开平方除之。
        “演段”曰:一积止有一长。若以长阔共步为从方,正少一阔,所以用一为益隅,益入一段阔方,以应从方除数。
        草曰:置积八百六十四步为实,别置一算为益隅。从尾末位约实,至百下定十。上商阔二十,积下置方法二十,以上商命方法,得四百,益积。却以从方六十除积一千二百,馀六十四。二因方法,一退,为廉;从方亦一退;益隅二退。又上商阔四步,次廉之下亦置隅四。以上商乘廉、隅,益积,实共二百四十。上商命从法,除实,尽,得阔二十四步,合问。
        “减从”术曰:置积为实,共步为从方,以一为负隅,开平方除之。
        “演段”曰:若不“益积”,便用“减从”。或有不可益积者,须用“减从”开之。
        草曰:置积八百六十四为实,以六十步为从方,以一算为负隅。上商置阔二十,以乘负隅,减从方二十,以上商命馀从四十,除积八百,馀积六十四。以上商乘负隅,又减从方二十,馀从二十步,一退;负隅二退。又于实上商置阔四步,以乘负隅减从方四,馀从十六,命上商,除实,尽,得阔二十四步,合问。
        

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

        【评】此为刘益求形如 -x ²+bx=A的开方式(其中b,A均为正)的正根的两种方法:益积开方术与减从开方术,并对开方式的建立作了几何解释,即“演段”。其需“益积”与“减从”与上同,唯此益积系以上商乘方法益积,减从系由从方减上商乘隅,含义与上有异。同样,减从术较接近增乘开方法。杨辉所引《议古根源》中还有四个形如 -ax ²+bx=A的开方式,其中a>1,b,A均为正,首项系数不为1,也是创新。
        直田积八百六十四步。只云一长、二阔、三和、四较共三百一十二步,问长几步?
        术曰:一之积为实,共步为从方,八为负隅,平方除之。
        “演段”曰:求长不得见差。用阔数乘积,以长为隅算,上问如前题,得八长一阔,用一之积八为负隅也。 ^①
        草曰:置积八百六十四步为实,置三百一十二步为从方,以八为负隅。实上商置长三十步,命负隅八,减从二百四十,馀从七十二。命上商,除实,其积不及合除二千一百六十之数,故用翻积:置负积二千一百六十,以元积八百六十四减之,尚馀正积一千二百九十六。复以上商命负隅,减从二百四十,而从亦不及,止有七十二。又用翻,置负从二百四十,以减七十二,馀负从一百六十八,而隅、从、积算皆负矣。从一退、隅二退位。又上商长六步,命隅八,得四十八,并从,共二百一十六,命上商,除实,得长,合问。
        

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

        [注]①演段是开方式的几何说明。b+2a+3(b+a)+4(b-a)=8b+a,则以8b+a为一边以b为另一边的长方形面积8b ²+ab=312b,由是得关于b的带负隅的开方式-8x ²+312x=864。
        【评】此为刘益提出的翻积术。开方过程中,一般常数项仍为正数,越来越小,然有时变为负数,刘益称之为“翻积”。此题采用减从开方术便出现“翻积”。