百鸡术

        今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三;鸡雏三,直钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何?
        答曰:鸡翁四,直钱二十;鸡母十八,直钱五十四;鸡雏七十八,直钱二十六。又答:鸡翁八,直钱四十;鸡母十一,直钱三十三;鸡雏八十一,直钱二十七。又答:鸡翁十二,直钱六十;鸡母四,直钱十二;鸡雏八十四,直钱二十八。
        术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三。即得。(原注:所以然者,其多少互相通融于同价。则无术可穷尽其理。) ^①
        

南北朝北魏《张丘建算经》卷下

        [注]①据记载,甄鸾、刘孝孙、李淳风都为《张丘建算经》作过注或细草。此注未知是作者原注还是以上三人之一注。
        【评】此是中国数学史上著名的不定方程组——百鸡问题:x+y+z=100,5x+3y+＝100。术文指出了其整数x=4t,y=25-7t,z=75+3t,t=1,2,3中t的三个系数及三组正确的答案,然未指示解题途径,此后一千多年间,许多学者探讨此题,未得要领。
        鸡雏为三分钱之一,三为分母,通五钱为十五,通三钱为九,通三之一为一,通钱一百为三百 ^①。先以雏作百只算之,乘价一得百钱,以减三百,馀二百为鸡翁、母价多于雏之共较。以雏价一减翁价十五、母价九,得翁较十四、母较八 ^②。以等二约之,得翁七、母四为定母,约价较二百,得一百,为定实 ^③。定母七、四相乘,得二十八为衍母,以翁七除定实百,得十四奇二 ^④,乃置定七,以四为衍数除,不满法,求得乘率二 ^⑤。以乘衍数四,得八,为翁七之用数。以奇二乘用八,得十六 ^⑥。不满衍母,即为鸡母实。以母定四除之,得四,为鸡母数 ^⑦。以鸡母实十六减定实,馀八十四,以翁定七除之,得十二,为鸡翁数。并翁、母数,以减共鸡一百,馀八十四,即鸡雏数也。
        置鸡翁十二,以定四除之,得三,故知有三数:翁每减母较四,母每加翁较七,雏每减翁、母二较之较三,即得:
        鸡翁十二,价六十;鸡母四,价十二,雏八十四,价二十八。
        鸡翁八,价四十,鸡母十一,价三十三,雏八十一,价二十七。
        鸡翁四,价二十,鸡母十八,价五十四,雏七十八,价二十六。
        今按:此亦三色差分也,与前题同。又按:《谢察微算术》置钱一百,以九为法,除之,得鸡母之数。不尽者,反减下法,为鸡翁之数。盖以雏三通翁一、母一,各得三,并为九,以除实一百,得十一为鸡母数,不尽一,反减下法九,馀八为鸡翁数 ^⑧。此数虽隅合,然不可为率,且不知有递增递减之三数,以其徒以臆测,不凭算理故也。今以大衍法求之,悉合。为正于此。
        

清·骆腾风《艺游录》卷二“裹分补遗”

        [注]①此谓将化成②此谓14x+8y=200。③又化成7x+4y=100。④此谓问题化成解4y≡0(mod4)≡2(mod7)的同馀式问题。⑤此谓定母4,7;衍母4×7=28;衍数=4。乘率为2。⑥用数为8,因此N=4y=8×2+0=16。⑦y==4。⑧北宋刻《张丘建算经》时将《谢察微算经》的文字补入。
        【评】骆腾风求法的前半段应用五家共井的消元法,后半段应用大衍求一术,正确解释了《张丘建算经》“百鸡问题”的算法。同时,他批评了《谢察微算经》解法的错误。