衡斋算学遗书合刻

        《衡斋算学遗书合刻》是清数学家汪莱的数学著作集。《衡斋算学》的第一个刊本仅含汪莱所著前两册算书,系其同乡学友巴树谷于嘉庆三年(1798)在歙县刊刻的。嘉庆六年末(1802),汪延麟在扬州刊行了包括前6册算书的《衡斋算学》6卷本。最早的足本是嘉庆年间嘉树堂六九书榭刊行的7卷本。最为流行的刊本是汪莱弟子夏燮于咸丰四年(1854)在鄱阳(今江西波阳)知县任上时刊刻的《衡斋算学遗书合刻》,该本包括《衡斋算学》7卷和《衡斋遗书》9卷两部分,汪莱孙汪廷栋参加了它的校勘工作。除此之外,《衡斋算学》尚有光绪二十三年(1897)贵池刘世珩的6卷本、光绪十八年(1892)汪廷栋重刊《衡斋算学遗书合刻》本,以及聚学轩丛书的7卷本。李俨和丁福保都提到一个道光十四年(1834)的《衡斋算学遗书合刻》本,恐系将夏氏鄱阳署刊本中夏炘(夏燮兄)作跋的时间误作刊刻时间所致。
        汪莱(1768-1813),字孝婴,号衡斋,安徽歙县人。早年家贫,年甫20即到苏州课馆谋生,在此结识数学家及经学家焦循。嘉庆六年(1801),汪莱与巴树谷讨论天文问题涉及球面三角推算法,撰成书稿一篇,此即后来的《衡斋算学》第1册。其后不久,他又相继写成第2、3、4册书,内容分别涉及勾股术、弧矢关系、球面三角和组合理论。嘉庆六年(1801),汪莱在扬州教馆期间读到宋元数学名家秦九韶、李冶的著作,遂后写成有关方程理论的第5册和有关弧矢关系的第6册。大约在此期间,他与焦循、李锐、张敦仁、沈钦裴、凌廷堪等数学家多有交游。嘉庆九年(1804),撰成进一步论述方程理论的第7册算书,至此他的主要数学著作都已完成。嘉庆十一年(1806),汪莱应两江总督铁宝之请主持黄河新、旧入海口之高程的测算工作。次年在家乡以优行第一的成绩考取八旗官学教习,到北京参与国史馆中“天文”、“时宪”二志的纂修工作。嘉庆十四年(1809)出任安徽石埭儒学训导,4年后卒于任上。
        《衡斋算学》共7卷,含算书第1至7册。
        第1册和第4册之前半部分是讨论球面三角学的。汪莱特别关注球面三角形存在唯一解的条件问题,他的“量角度新法”则是对清初梅文鼎在《环中黍尺》中提出的球面三角图解法的一个补充。第2册专门讨论已知勾股积与勾弦和求其他元素的勾股和较问题,针对前代学者梅珏成所提出的一个代数解法,汪莱指出了其解法的不唯一性。这些工作都构成了他研究方程论的先导。汪莱最重要的数学著作是关于方程论的第5、第7两册算书。在第5册算书中,他列出了三次以下的各类代数方程96个,逐一考察其“知不知”,即是否存在唯一解。这一工作也启发了李锐对方程论的兴趣,导致了后者最终提出判定方程正根个数的符号法则。汪莱还就某类三次方程讨论了根与系数的关系,给出了韦达(Francois Viete)定理的特例。在第七册算书中,汪莱就三次方程
        x ^m-px ⁿ+q=0(m>n且均为正整数,p、q为正数)存在正根的充分条件展开了讨论,由他所给出的18个例子可以归纳出一般的条件为

《衡斋算学》第三、第六两册讨论已知半径及弦长求部分弦长的问题,汪莱著书时未曾读到明安图的《割圆密率捷法》,但他所使用的几何方法,实为董方立、项名达等人工作的前驱。第四册算书之后半名为“递兼数理”,是中国数学史上第一次明确地给出了组合之定义并提出相应公式的著作,书中的公式有

在论证最后一个公式时,汪莱借助传统的垛积知识,从而沟通了组合与高阶等差级数这两类数学问题之间的联系。
        《衡斋遗书》中也有多篇数学著作,其中最有意义的是汪莱青年时代所撰写的《参西算经》,这是中国数学史上第一次系统论述非10整进制算术的作品。内中列出了2至9进制的乘法表,以9进制为例,其相应的乘法口诀为:“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、八六五三、八七六二、八八七一……。”关于除法,书中则讨论了非10进制的整除问题。
        对于汪莱的方程论研究,同时代的李锐赞为“穷幽极微,真算氏之最也”(第五册算书跋,《衡斋算学》第六册内)。焦循认为“孝婴之学深妙入微”,“所言皆人所未官与人所不能言”(石埭儒学训导汪君孝婴别传,《衡斋遗书》卷末)。但是,由于汪莱才高傲世,又不矫饰回避西学,因此在他去世后的一个相当长的时期中,其数学工作并没有得到后人应有的重视。1936年,数学史家钱宝琮在《国立浙江大学科学报告》上发表了《汪莱〈衡斋算学〉评述》一文,对《衡斋算学》作了全面的、公允的评价。他说:“《衡斋算学》七册论题各异其科……网罗至富,甄录皆精。”对于前人的无端指责,他则写道:“其苦心孤诣唯求算数之学有所进益,初无中西派别之念介于其间也。时人不察乃谓其泥于‘可知’‘不可知’,为墨守西法,岂知官之选哉?……全书除第三册及第四册之后半外,诸所著论皆以根之可知不可知为前提,各有本末而理实同归。庖丁解牛,游刃理间,能历久而其刃如新,此之谓欤?”(《钱宝琮科学史论文选集》)近年来,《衡斋算学》再度引起了研究者的兴趣,已经出现了一批研究论文。