方亭
(方亭)术曰:上下方相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三而一。
【评】这是正确的方台体积公式:V=(a 1a 2+a 1 2+a 2 2)h。其中V,a 1,a 2,h是方台的体积,上底边长,下底边长,高。
此章有堑堵、阳马,皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品,以效高深之积。假令方亭,上方一尺,下方二尺,高一尺。其用棋也,中央立方一,四面堑堵四,四角阳马四。上下方相乘为三尺,以高乘之,约积三尺,是为得中央立方一,四面堑堵各一。(原本下衍十一字,戴震删)下方自乘为九,以高乘之,得积九尺,是为中央立方一,四面堑堵各二,四角阳马各三也。上方自乘,以高乘之,得积一尺,又为中央立方一。凡三品棋皆一而为三。故三而一,得积尺。用棋之数,立方三,堑堵、阳马各十二,凡二十七。棋十三,更差次之,而成方亭者三,验矣。
【评】这里说的是用棋验法验证方台的体积公式。棋验法是刘徽采其所见的前人的传统方法,只是用立方、堑堵、阳马三品棋对特殊的多面体的体积的验证,并不能证明一般性体积公式。
为术又可令方差自乘,以高乘之,三而一,即四阳马也。上下方相乘,以高乘之,即中央立方及四面堑堵也。并之,以为方亭积数也。
【评】这里刘徽提出了方台的另一种形式的体积公式:V=(a 2-a 1) 2h+a 1a 2h,这实际上也是该公式的严格证明,这是将多面体分成有限个体积已证明的立方、堑堵、阳马,求其和的方法。
汉《九章算术·商功》
【评】这是正确的方台体积公式:V=(a 1a 2+a 1 2+a 2 2)h。其中V,a 1,a 2,h是方台的体积,上底边长,下底边长,高。
此章有堑堵、阳马,皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品,以效高深之积。假令方亭,上方一尺,下方二尺,高一尺。其用棋也,中央立方一,四面堑堵四,四角阳马四。上下方相乘为三尺,以高乘之,约积三尺,是为得中央立方一,四面堑堵各一。(原本下衍十一字,戴震删)下方自乘为九,以高乘之,得积九尺,是为中央立方一,四面堑堵各二,四角阳马各三也。上方自乘,以高乘之,得积一尺,又为中央立方一。凡三品棋皆一而为三。故三而一,得积尺。用棋之数,立方三,堑堵、阳马各十二,凡二十七。棋十三,更差次之,而成方亭者三,验矣。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】这里说的是用棋验法验证方台的体积公式。棋验法是刘徽采其所见的前人的传统方法,只是用立方、堑堵、阳马三品棋对特殊的多面体的体积的验证,并不能证明一般性体积公式。
为术又可令方差自乘,以高乘之,三而一,即四阳马也。上下方相乘,以高乘之,即中央立方及四面堑堵也。并之,以为方亭积数也。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】这里刘徽提出了方台的另一种形式的体积公式:V=(a 2-a 1) 2h+a 1a 2h,这实际上也是该公式的严格证明,这是将多面体分成有限个体积已证明的立方、堑堵、阳马,求其和的方法。
扫描二维码推送至手机访问。
版权声明：本文由古译文网发布，如需转载请注明出处。