捷算法

        今有绢二千四百五十四匹,每匹直钱一贯七百文。问计钱几何?
        术曰:先置绢数,七添之,退位一等,即得 ^①。
        

《夏侯阳算经·说诸分》

        [注]①这是将2454 × 1.7化成2454 × 17÷10,再化成(2454×10+2454×7)÷10计算,以加减代乘除,此谓身外加法。
        今有两税钱四万三千六百七十五贯二百文,抽身内充脚,每贯二百文。问正及脚各几何?
        术曰:先置元钱,折半,六除,是正钱数。将正钱二因,即得脚。 ^①
        又术:但置钱数,身外减二,得正。倍之,得脚 ^②。
        

《夏侯阳算经·说诸分》

        [注]①术文求正钱法是将43675.2÷ 1.2化成43675.2÷12×10,再化成436752÷2÷6,即将除数变成其因子的个位除法,是谓重因法。②又术求正钱法的程序是436752÷12=30000 + (436752-30000 × 10-30000 × 2) ÷12= 30000+6000+ (76752-6000×10-6000×2)÷12=……化成个位乘法与减法,是谓身外减法。
        今有钱三干四百六十三贯五百文,欲每贯垫四十二文,问垫几何?
        术曰:先置钱数,以六、七因之,退位即得。
        

《夏侯阳算经·说诸分》

        [注]此术将乘42变成乘6×7,化成个位乘法。
        江本 ^①撰《三位乘除一位算法》三卷,又以一位因、折、进、退,作《一位算法》九篇,颇为简约。
        

宋·王应麟《玉海》

        [注]①《新唐书·艺文志》有江本《一位算法》,知江本为唐数学家。
        【评】人们自唐中叶起开始改进筹算乘除法,创造各种捷算法,主要是以加减代乘除,并试图变三行布算为一行布算,有重大意义,惜著述大都失传,唯《夏侯阳算经》存。
        算术多门,如求一、上驱、搭因、重因 ^①之类,皆不离乘除。唯增成 ^②一法,稍异其术,都不用乘除,但补亏就盈而已。假如欲九除者,增一便是,八除者,增二便是。但一位一因之,若位数少,则颇简捷,位数多则愈繁,不若乘除之有常。
        

宋·沈括《梦溪笔谈》卷一八

        [注]①求一是化乘、除数的首位数字为1从而简化乘除法的方法。“重因”是化多位乘法为个位乘法的方法。上驱、搭因的涵义不清。③增成是归除法的一类。
        【评】唐中叶以后,适应商业经济的发展,人们创造了各种筹算乘除捷算法。这些乘除捷算法也经历了由初级到高级的发展,不仅对当时人们的生产、生活发挥了有益的作用,而且为珠算的产生并取代筹算准备了算法条件。沈括所记载的这些方法都是较初级的。杨辉、朱世杰等进一步发展了这些算法。
        “求一乘”曰:五、六、七、八、九,倍之数不走;二、三须当半,遇四两折纽 ^①。倍、折本从法,实即反其有 ^②。用加以代乘,斯数足可守。
        

宋·杨辉《乘除通变本末》卷中

        [注]①原脱“纽”字,依钱宝琮《中国数学史》补。②杨辉原注:“倍法必折实,倍实必折法。”
        “求一除”曰:五、六、七、八、九,倍之数不走;二、三须当半,遇四两折纽。倍、折本从法 ^①,为除积相就 ^②。用减以代除,定位求如旧。
        

宋·杨辉《乘除通变本末》卷中

        [注]①原脱字,依钱宝琮《中国数学史》补。②杨辉原注:“倍法必倍实,折法必折实。”
        【评】求一法即将乘、除数首数通过加倍、折半变成一,用身外加减法,将乘除化成加、减。约一个世纪后,归除歌诀简化,“求一除”被淘汰。
        “九归新括”,以古句今注两存之。
        归数求成十 ^①。“九归”:遇九成十;“八归”:遇八成十;“七归”:遇七成十;“六归”:遇六成十;“五归”:遇五成十;“四归”:遇四成十;“三归”:遇三成十;“二归”:遇二成十。
        归除自上加。“九归”:见一下一,见二下二,见三下三,见四下四;“八归”:见一下二,见二下四,见三下六;“七归”:见一下三,见二下六,见三下十二,即九;“六归”:见一下四,见二下十二,即八;“五归”:见一作二,见二作四;“四归”:见一下十二,即六;“三归”:见一下二十一,即七。
        半而为五计。“九归”:见四五作五;“八归”:见四作五;“七归”:见三五作五;“六归”:见三作五;“五归”:见二五作五;“四归”:见二作五;“三归”:见一五作五;“二归”:见一作五。
        定位退无差。
        

宋·杨辉《乘除通变本末》卷中

        [注]①此段及下各段第一句为古句,原为大字,以下为杨辉注,原作小字。
        九归除法:
        　　一归如一进,见一进成十。二一添作五,
        　　逢二进成十。三一三十一,三二六十二,
        　　逢三进成十。四一二十二,四二添作五,
        　　四三七十二,逢四进成十。五归添一倍,
        　　逢五进成十。六一下加四,六二三十二,
        　　六三添作五,六四六十四,六五八十二,
        　　逢六进成十。七一下加三,七二下加六,
        　　七三四十二,七四五十五,七五七十一,
        　　七六八十四,逢七进成十。八一下加二,
        　　八二下加四,八三下加六,八四添作五,
        　　八五六十二,八六七十四,八七八十六,
        　　逢八进一十。九归随身下,逢九进成十。
        

元·朱世杰《算学启蒙·总括》

        【评】九归是除法捷算中的一种基本方法。归即一位除法,从1到9的除法称为“九归”。从杨辉歌诀到朱世杰歌诀可以看出“九归”歌诀的演进,朱世杰的歌诀与直至解放后还在流行的珠算歌诀基本一致。用歌诀表达算法是个创造,不仅易学易记,而且口念迅速,加速了简捷的珠算取代筹算的过程。