三角垛

        今有茭草,底子每面五十四束,问积几何?
        术曰:副置五十四束,下位添一束,以乘上位,得二千九百七十,半之,得积 ^①,合问。
        

元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》

        〔注〕①此实际上给出了自然数列1,2,3,……前n项和公式S=n(n+1)。它是朱世杰高阶等差级数研究的开端。
        今有三角垛果子,每面底子四十四个,问共积几何?
        术曰:列底子,添一〔原本讹作三,今校正〕,以底子乘之,得数,又添二,又以底子乘之,得九万一千八十为实,以六为法,实如法而一 ^①,合问。
        

元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》

        〔注〕①此三角垛求和公式,杨辉已给出。朱世杰在“茭草形段”的第一问中指出它系由茭草垛“落一形垛之”而成,即由茭草垛的前r项和作为三角垛的第r项。
        今有茭草一千八百二十束,欲令撒星形垛之,问底子几何?
        术曰:立天元一为撒星底子,如积求之,得四万三千六百八十为益实,六为从方,一十一为从上廉,六为从下廉,一为正隅,三乘方开之 ^①,合问。
        草曰:立天元一为撒星底子,以天元加一得乘之,得,又以天元加二得乘之,得,又以天元加三得乘之,得,合以二十四除之,为共积 ^②。今不除,便为二十四段共积寄左。乃以二十四通共束,得四万三千六百八十为同数,消左,得,开三乘方,得十三束,合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

        [注]①此为四次开方式x ⁴+6x ³+11x ²+6x-43680=0。②此为三阶等差级数1,4,10,20,35,……的前n项和公式,在“如象招数”门第2、3、5问中称作“三角落一”形垛,即三角垛的前r项之和为撒星形垛的第r项:
        今有茭草八千五百六十八束,欲令撒星更落一形垛之,问底子几何?
        术曰:立天元一为撒星更落一底子,如积求之,得一百二万八千一百六十为益实,二十四为从方,五十为从上廉,三十五为从二廉,一十为从三廉,一为正隅,四乘方开之 ^①,合问。
        草曰:立天元一为撒星更落一底子,加一得,乘天元,得,又以天元加二,得,乘之,得,又以天元加三,得,乘之,得,又以天元加四得,乘之,得,合以一百二十除之,为共积 ^②。今不除,便为一百二十段共积,寄左。乃以一百二十通共束,得一百二万八千一百六十为同数,消左,得,开四乘方,得十四束,合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

        [注]①此为五次开方式x ⁵+10x ⁴+35x ³+50x ²+24x-1028160=0。②此为四阶等差级数1,5,15,35,70,126,……的前n项和公式。此问中称作撒星更落一形垛,盖撒星形垛之前r项之和便为撒星更落一形垛的第r项:
        
        在“如象招数”门第5问中称作三角撒星形垛。
        今有三角撒星更落一形果子,积九百二十四个。问底子几何?
        术曰:立天元一为三角撒星更落一底子,如积求之,得六十六万五千二百八十为益实,一百二十为从方,二百七十四为从上廉,二百二十五为从二廉,八十五为从三廉,一十五为从四廉,一为正隅,五乘方开之 ^①,合问。
        草曰:立天元一为三角撒星更落一底子,以天元加一得,乘之得,又以天元加二,得,乘之,得,又以天元加三,得,乘之,得,又以天元加四,得,乘之,得,又以天元加五,得,乘之,得,合以七百二十除之,为共积 ^②。今不除,便为带分共积(原注:内寄七百二十为母。),寄左。乃以七百二十通共积,得六十六万五千二百八十,为同数,消左,得,开五乘方,得七个,合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·果垛叠藏》

        [注]①此为六次开方式x ⁶+15x ⁵+85x ⁴+225x ³+274x ²+120x-665280=0。②此为五阶等差级数1,6,21,56,126,252,462,……的前n项和公式,称为三角撒星更落一形垛,即三角撒星垛的前r项之和是其更落一形垛的第r项:
        
        【评】以上五条公式是朱世杰关于三角垛公式的研究。它们虽然分散在不同的著作不同的门类问题中,却明显自成系统,并且有递推关系:
        
        显然,当p=1,2,3,4,5时便是上述诸式。并且,它们依次是贾宪三角的第二、三、四、五、六条斜线上的数字。据信,朱世杰用归纳法得到这类公式。
        一乘垛元而成,二乘垛迭一乘垛而成,三乘垛迭二乘垛而成,四乘垛迭三乘垛而成,五乘垛以上可类推。
        三角垛有高求积术:
        一乘垛:置高,以高加一乘之,为实,二为法,得积。
        二乘垛:置高,以高加一乘之,又以高加二乘之,为实,二、三相乘为法,得积。
        三乘垛:置高,以高加一乘之,又以高加二乘之,又以高加三乘之,为实,二、三、四连乘为法,得积。
        四乘垛:置高,以高加一乘之,又以高加二乘之,又以高加三乘之,又以高加四乘之,为实,二、三、四、五连乘为法,得积。
        凡有高求积者,置高,以高递加一,累乘之,加至如本乘垛数乘之而止(如三乘垛,加三乘之而止也),为实,以一、二、三诸数连乘至视本乘垛数多一而止(如四乘垛,连乘至五而止也),为法,实如法而一,得积。
        

清·李善兰《垛积比类》卷一(见《则古昔斋算学》)

        【评】以上为李善兰关于三角垛之积公式的概括性系统论述,即为朱世杰在各具体问题中所使用的公式: