极限
河伯曰:“世之议者皆曰:‘至精无形,至大不可围。’是信情乎?”
北海若曰:“夫自细视大者不尽,自大视细者不明。夫精,小之微也;垺,大之殷也;故异便。此势之有也。夫精粗者,期于有形者也;无形者,数之所不能分也;不可围者,数之所不能穷也。可以言论者,物之粗也;可以意致者,物之精也;言之所不能论,意之所不能察致者,不期精粗焉。……”
【评】《庄子》借河伯与北海若的问答阐发了“至精无形”及“无形不能分”的思想。后来刘徽对锥体施以无穷小分割时的“至细曰微,微则无形”的思想,以及“数而求穷之者,谓以情推,不用筹算”的思想,当与此有渊源关系。
惠施多方,其书五车,其道舛驳,其言也不中。历物之意,曰:“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。无厚,不可积也,其大千里。……”
惠施以此为大,观于天下而晓辩者,天下之辩者相与乐之。……飞鸟之景未尝动也,镞矢之疾而有不行不止之时,……一尺之捶,日取其半,万世不竭。辩者以此与惠施相应,终身无穷。
【评】《庄子》所引辩者的许多命题,含有深刻的极限思想,尤以“一尺之捶,日取其半,万世不竭”,最为著名。
非半弗��(毕云:《玉篇》云:“��,知略切,破也。”卢云:非此义,此当与“斫”、“斮”义同。沅案:“��”即“斮”字异文耳。杨云:“��”同“櫡”。按:杨说是也。《集韵》十八“药”云:櫡,《说文》“斫”谓之“櫡”,或从“斤”,作“��”,此“��”即“��”之变体。旧本作“ ”,讹。“��”,“斫”同诂,与“斮”音义亦略同,而字则异。毕说未审。)则不动,说在端。(若尽其端,则无半可言,是终古不能��也。故云“不动”。)
非��半,(��,櫡之别体。此疑当作“��非半,即约经云:非半弗��也,而反辞以明其义。)进前取也。(非半而��之,则每��前进也。)前,则中无为半。(言半者,必前后之中。进前取,尽其端,则中无所谓半。)犹端也。(端,即前也。《经上》云:“端,体之无序而最前者也。”此言虽取中��之,终必前极其端。)前后取,则端中也。(前后端之中,即所谓半。)��必半,毋与非半。(“毋”,吴钞本作“无”。)不可��也。(尽其端,则无半,不复可��。《庄子·天下篇》云:“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”《释文》引司马彪云:若其可析,则常有两;若其不可析,其一常在。故曰“万世不竭”,即此义也。依张杨说,此释《经下》“非半弗��则不动,说在端。”)
【评】《墨经》中的以上两段文字的诠释,自清以降,众说纷纭,然其中含有极限思想,则是共同看法。并且,后来刘徽割圆术中“不可割”的思想与墨家的“不可��”有着渊源关系,也是无疑的。
汉兴,破觚而为圜,斫雕而为朴,……
【评】司马迁由治轮等手工业工序抽象出来的“破觚为圜”,其本意在于比喻汉废除秦的严刑苛法,不过很可能成为刘徽割觚为圆的思想渊源。
又按:为图:以六觚之一面乘一弧半径,三之(原本作“二因而六之”,依戴震校),得十二觚之幂。若又割之,次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之(原本“六之”前有“四因而”三字,依戴震删),则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外,犹有馀径。以面乘馀(原脱,依钱宝琮补)径,则幂出弧表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无馀径。表无馀径,则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂。此以周径,谓至然之数,非周三径一之率也。
【评】这是刘徽用极限思想对圆面积公式的极其严格的证明。
邪解立方得两堑堵。邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖腝,阳马居二,鳖腝居一,不易之率也。
【评】这是刘徽为证明阳马和鳖腝的体积公式而提出的一条重要原理:一堑堵分成一阳马与一鳖腝,阳马与鳖腝体积之比恒为二比一。是为刘徽体积理论之精髓,可称为刘徽原理。刘徽用极限思想证明了它。由于堑堵体积为1/2abh,那么阳马与鳖腝的体积公式是显然的。
其棋或修短,或广狭,立方不等者,亦割分以为六鳖腝。其形不悉相似,然见数同,积实均也。鳖腝殊形,阳马异体。然阳马异体,则不可纯合。不纯合,则难为之矣。何则?按:邪解方棋以为堑堵者,必当以半为分;邪解堑堵以为阳马者,亦必当以半为分,一从一横耳。设为阳马为分内,鳖腝为分外,棋虽或随修短广狭,犹有此分常率知,殊形异体,亦同也者,以此而已。
【评】此处阐明在长、宽、高不等的情况下刘徽原理仍然成立,然用棋验法无法证明之。因此,必须另辟蹊径。
其使鳖腝广、袤、高各(原本“高各”误倒,戴震校正)二尺,用堑堵、鳖腝之棋各二,皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺,用立方之棋一,堑堵、阳马之棋各二,皆用黑棋。棋之赤、黑接为堑堵,广、袤、高各二尺。于是中效其广、袤(原本脱“袤”,依意补),又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方,高一尺、方一尺(两“一尺”,原本作“二尺”,依意改),每二分鳖腝则一阳马也。其馀两端各积本体,合成一方焉。是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一。虽方随棋改,而固有常然之势也。按馀数具而可知者有一、二分之别,即一、二之为率定矣,其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置馀广、袤、高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其馀弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取馀哉?数而求穷之者,谓以情推,不用筹算。
【评】刘徽用无穷小分割证明刘徽原理,说明他实际上已经开始考虑后来高斯(1777—1855)关于不用无穷小分割是不可能解决四面体体积的猜想,这个猜想成为希尔伯特二十三个数学问题之第三个问题的核心。
北海若曰:“夫自细视大者不尽,自大视细者不明。夫精,小之微也;垺,大之殷也;故异便。此势之有也。夫精粗者,期于有形者也;无形者,数之所不能分也;不可围者,数之所不能穷也。可以言论者,物之粗也;可以意致者,物之精也;言之所不能论,意之所不能察致者,不期精粗焉。……”
《庄子·秋水》
【评】《庄子》借河伯与北海若的问答阐发了“至精无形”及“无形不能分”的思想。后来刘徽对锥体施以无穷小分割时的“至细曰微,微则无形”的思想,以及“数而求穷之者,谓以情推,不用筹算”的思想,当与此有渊源关系。
惠施多方,其书五车,其道舛驳,其言也不中。历物之意,曰:“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。无厚,不可积也,其大千里。……”
惠施以此为大,观于天下而晓辩者,天下之辩者相与乐之。……飞鸟之景未尝动也,镞矢之疾而有不行不止之时,……一尺之捶,日取其半,万世不竭。辩者以此与惠施相应,终身无穷。
《庄子·天下》
【评】《庄子》所引辩者的许多命题,含有深刻的极限思想,尤以“一尺之捶,日取其半,万世不竭”,最为著名。
非半弗��(毕云:《玉篇》云:“��,知略切,破也。”卢云:非此义,此当与“斫”、“斮”义同。沅案:“��”即“斮”字异文耳。杨云:“��”同“櫡”。按:杨说是也。《集韵》十八“药”云:櫡,《说文》“斫”谓之“櫡”,或从“斤”,作“��”,此“��”即“��”之变体。旧本作“ ”,讹。“��”,“斫”同诂,与“斮”音义亦略同,而字则异。毕说未审。)则不动,说在端。(若尽其端,则无半可言,是终古不能��也。故云“不动”。)
《墨子·经下》(见清·孙诒让《墨子间诂》)
非��半,(��,櫡之别体。此疑当作“��非半,即约经云:非半弗��也,而反辞以明其义。)进前取也。(非半而��之,则每��前进也。)前,则中无为半。(言半者,必前后之中。进前取,尽其端,则中无所谓半。)犹端也。(端,即前也。《经上》云:“端,体之无序而最前者也。”此言虽取中��之,终必前极其端。)前后取,则端中也。(前后端之中,即所谓半。)��必半,毋与非半。(“毋”,吴钞本作“无”。)不可��也。(尽其端,则无半,不复可��。《庄子·天下篇》云:“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”《释文》引司马彪云:若其可析,则常有两;若其不可析,其一常在。故曰“万世不竭”,即此义也。依张杨说,此释《经下》“非半弗��则不动,说在端。”)
《墨子·经说下》(见清·孙诒让《墨子间诂》)
【评】《墨经》中的以上两段文字的诠释,自清以降,众说纷纭,然其中含有极限思想,则是共同看法。并且,后来刘徽割圆术中“不可割”的思想与墨家的“不可��”有着渊源关系,也是无疑的。
汉兴,破觚而为圜,斫雕而为朴,……
《史记·酷吏列传》
【评】司马迁由治轮等手工业工序抽象出来的“破觚为圜”,其本意在于比喻汉废除秦的严刑苛法,不过很可能成为刘徽割觚为圆的思想渊源。
又按:为图:以六觚之一面乘一弧半径,三之(原本作“二因而六之”,依戴震校),得十二觚之幂。若又割之,次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之(原本“六之”前有“四因而”三字,依戴震删),则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外,犹有馀径。以面乘馀(原脱,依钱宝琮补)径,则幂出弧表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无馀径。表无馀径,则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂。此以周径,谓至然之数,非周三径一之率也。
《九章算术·方田》三国魏·刘徽注
【评】这是刘徽用极限思想对圆面积公式的极其严格的证明。
邪解立方得两堑堵。邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖腝,阳马居二,鳖腝居一,不易之率也。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】这是刘徽为证明阳马和鳖腝的体积公式而提出的一条重要原理:一堑堵分成一阳马与一鳖腝,阳马与鳖腝体积之比恒为二比一。是为刘徽体积理论之精髓,可称为刘徽原理。刘徽用极限思想证明了它。由于堑堵体积为1/2abh,那么阳马与鳖腝的体积公式是显然的。
其棋或修短,或广狭,立方不等者,亦割分以为六鳖腝。其形不悉相似,然见数同,积实均也。鳖腝殊形,阳马异体。然阳马异体,则不可纯合。不纯合,则难为之矣。何则?按:邪解方棋以为堑堵者,必当以半为分;邪解堑堵以为阳马者,亦必当以半为分,一从一横耳。设为阳马为分内,鳖腝为分外,棋虽或随修短广狭,犹有此分常率知,殊形异体,亦同也者,以此而已。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】此处阐明在长、宽、高不等的情况下刘徽原理仍然成立,然用棋验法无法证明之。因此,必须另辟蹊径。
其使鳖腝广、袤、高各(原本“高各”误倒,戴震校正)二尺,用堑堵、鳖腝之棋各二,皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺,用立方之棋一,堑堵、阳马之棋各二,皆用黑棋。棋之赤、黑接为堑堵,广、袤、高各二尺。于是中效其广、袤(原本脱“袤”,依意补),又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方,高一尺、方一尺(两“一尺”,原本作“二尺”,依意改),每二分鳖腝则一阳马也。其馀两端各积本体,合成一方焉。是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一。虽方随棋改,而固有常然之势也。按馀数具而可知者有一、二分之别,即一、二之为率定矣,其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置馀广、袤、高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其馀弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取馀哉?数而求穷之者,谓以情推,不用筹算。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】刘徽用无穷小分割证明刘徽原理,说明他实际上已经开始考虑后来高斯(1777—1855)关于不用无穷小分割是不可能解决四面体体积的猜想,这个猜想成为希尔伯特二十三个数学问题之第三个问题的核心。
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