益古演段

        《益古演段》是元朝重要数学著作。元李冶(见《测圆海镜》)1259年撰。李冶去世后于至元十九年(1282)由李师征刊刻,砚坚序,今不传。明修《永乐大典》(1408),将其抄入。清乾隆间《四库》馆臣由《永乐大典》中将其辑出,加以校勘,收入《四库全书》。嘉庆二年(1798)李锐以《四库》本为底本,重新算校,由鲍廷博刻入《知不足斋丛书》。后来,同治十三年(1874)丁取忠《白芙堂算学丛书》本、光绪二十四年(1898)刘铎《古今算学丛书》本、王云五主编《丛书集成(初编)》本,均是《知不足斋丛书》本的翻刻本或排印本。
        李冶在本书自序中进一步阐发了他对数学重要性的看法,指出“术数虽居六艺之末,而施之人事则最为切务”。他自述本书的前身是《益古集》,据祖赜《四元玉鉴后序》,《益古集》的作者是平阳(今山西省临汾县)蒋周,生平不详,估计为北宋人。李冶认为《益古集》成就可与刘徽、李淳风相颉顽,而“其閟匿而不尽发”,数理不清晰,于是“再为移补条段,细繙图式,使粗知十百者便得入室啗其文”,遂成是书。
        本书分3卷,64问,以方田、圆田其周、径的各种关系为主要内容,以天元术为主要方法。各题分题目、答、法、依条段求之、义、旧术诸项。其中法是根据问题条件,用天元术列出一元二次方程,相当于《测圆海镜》的法、草两部分内容。绝大多数题目都有“以条段求之”和“义”两项,条段一词源于《益古集》,实际上是用出入相补原理对方程的建立过程进行几何解释,“义”则对某些条段的意义进一步阐释,有22题共含有24条旧术,当是《益古集》原文,说明当时并没有天元术,是研究该书的宝贵资料。
        天元术即今设未知数列方程的方法。设天元一为所求的数,根据问题条件列出两个等价的天元式,如积相消,便得到一个一元方程,再用开方式求其正根。李冶在《测圆海镜》的天元式记法采取正幂在上、负幂在下,在本书中则倒过来,负幂在上,正幂在下,与传统的开方式顺序一致。