弓形

        (弧田)术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
        

汉《九章算术·方田》

        【评】这是《九章》提出的弓形面积公式,历代沿用。刘徽指出它不精确,“若但度田,取其大数,旧术为约耳。”
        方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方(原本误倒,依李潢校正)合外方之半,则朱青合外方四分之一也。弧田,半圆之幂也,故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之则为黄幂,矢自乘而半之为二青幂,青黄相连为弧体。弧体法当应规,今觚面(原本讹作令弧而,依戴震校正)不至外畔,失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚之幂,亦失之于少也,与此相似,指验半圆之弧耳。若不满半圆者,益复疏阔。
        

汉《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        【评】刘徽以半圆这种弓形为例,证明了《九章》弓形公式之不准确。
        宜依勾股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为勾深,而求其径。既知圆径,则弧可割分也。割之者,半弧田之弦以为股,其矢为勾,为之求弦,即小弧之弦也;以半小弧之弦为勾,半圆径为弦,为之求股,以减半径,其馀即小弧(原本讹作弦,依李潢校正)之矢也。割之又割,使至极细。但举弦矢相乘之数,则必近密率矣。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        【评】刘徽将割圆术的极限思想应用于弓形面积给出了精确的近似计算方法。
        履亩之法,方圆曲直尽矣,未有会圆之术。凡圆田既能拆(原本作折,依胡道静校)之,须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之,其失有及三倍者。余别为拆会之术:置圆田径半之以为弦,又以半径减去所割数,馀者为股,各自乘,以股除弦,馀者开方除为勾,倍之为割田之直径,以所割之数自乘,(此原有“退一位”三字,钱宝琮认为是衍文)倍之,又以圆径除所得,加入直径,为割田之弧,再割亦如之,减去已割之数,则再割之数也。
        

宋·沈括《梦溪笔谈》卷一八

        【评】会圆术是沈括在《九章》之后首次提出的弓形弦、弧公式,元郭守敬依此创造了推算“赤道积度”、“赤道内外度”的新方法。