圆环
(环田)术曰:并中外周而半之,以径乘之,为积步。
【评】这是《九章》提出的圆环的面积公式,历代沿用:S=(l 1+l 2)d。其中S,l 1,l 2,d分别是环田面积,外周,中周及径(d=r 1-r 2)。
此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中外周各自为圆田,以中圆减外圆,馀则环实也。
【评】刘徽亦以以盈补虚原理论证了《九章》环田术的正确性,并提出了新的面积公式:S=S 1-S 2,其中S 1,S 2分别是外圆和中圆的面积。
(环田三积)术曰:以方田及少广变率求之。……置环周幂,乘径实,十六约之,为大率。置虚径幂,乘内周实,十六约之,为小率,以二率相减之馀,以自乘,为实,并二率,倍之,为从上廉,一为益隅。开三乘方,得环积。置环周自乘,退位为实,一为隅,开平方,得通径。以虚径减通径,馀为实径,其有开不尽者,约而命之。
【评】这是已知环田外周l,径d,求环田面积A的方法:-A 4+2,由开四次方求得,比《九章算术》进了一大步。
汉《九章算术·方田》
【评】这是《九章》提出的圆环的面积公式,历代沿用:S=(l 1+l 2)d。其中S,l 1,l 2,d分别是环田面积,外周,中周及径(d=r 1-r 2)。
此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中外周各自为圆田,以中圆减外圆,馀则环实也。
《九章算术·方田》三国魏·刘徽注
【评】刘徽亦以以盈补虚原理论证了《九章》环田术的正确性,并提出了新的面积公式:S=S 1-S 2,其中S 1,S 2分别是外圆和中圆的面积。
(环田三积)术曰:以方田及少广变率求之。……置环周幂,乘径实,十六约之,为大率。置虚径幂,乘内周实,十六约之,为小率,以二率相减之馀,以自乘,为实,并二率,倍之,为从上廉,一为益隅。开三乘方,得环积。置环周自乘,退位为实,一为隅,开平方,得通径。以虚径减通径,馀为实径,其有开不尽者,约而命之。
宋·秦九韶《数书九章·田域类》
【评】这是已知环田外周l,径d,求环田面积A的方法:-A 4+2,由开四次方求得,比《九章算术》进了一大步。
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