圆
圜,一中同长也。
圜,规写攴 ①也。
[注]①攴,孙诒让疑为“交”。
【评】这是墨家关于圆的定义,以及用规作圆的方法。
(圆田)术曰:半周半径相乘得积步。
又术曰:周径相乘,四而一。
又术曰:径自相乘,三之,四而一。
又术曰:周自相乘,十二而一。
【评】这是中国数学史上首次提出的四个圆面积公式。S=其中S,l,r,d分别是圆面积、周长、半径、直径。前二个是正确的,后二个基于周三径一。《九章》的有关题目皆用周三径一,即π=3。
按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容六觚(原作“弧”,依戴震校,以下诸条同),之一面与圆径之半,其数均等,合径率一而弧周率三也。
【评】这是刘徽记载的前人关于圆面积公式的论证,它基于周三径一之率,因而远非公式的严格证明。刘徽有关于以半周乘半径等于圆面积这一公式的严格证明,请参见“极限”类。
按:圆径自乘为外方。三之,四而一者,是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径,其幂即外方四分之一也。因而三之,即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆,失之于微少。于徽新术,当径自乘,又以一百五十七乘之,二百而一。
【评】这是刘徽对圆田又术的注,指出仅得出圆内接正12边形面积,并用所求的圆周率π=157/50修正了《九章》公式。
六觚之周,其于圆径,三与一也。故六觚之周自相乘为幂,若圆径自乘者九方,九方凡为十二觚者十有二,故曰十二而一 ,即十二觚之幂也。今此令周自乘,非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一,所得又非十二觚之类也。若欲以为圆幂,失之于多矣。以六觚之周十二而一可也。于徽新术,直令圆周自乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。其率:二十五者,圆幂也;(原本无此七字,李潢补)三百一十四者,周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分,令自乘得幂三十九万四千三百八十四分,又置圆幂三万一千四百分,皆以一千二百五十六约之,得此率。
【评】这是刘徽对另一圆面积公式的注,证明了其不精确,并用所求的圆周率修正了这个公式。
《墨子·经上》
圜,规写攴 ①也。
《墨子·经说上》
[注]①攴,孙诒让疑为“交”。
【评】这是墨家关于圆的定义,以及用规作圆的方法。
(圆田)术曰:半周半径相乘得积步。
又术曰:周径相乘,四而一。
又术曰:径自相乘,三之,四而一。
又术曰:周自相乘,十二而一。
汉《九章算术·方田》
【评】这是中国数学史上首次提出的四个圆面积公式。S=其中S,l,r,d分别是圆面积、周长、半径、直径。前二个是正确的,后二个基于周三径一。《九章》的有关题目皆用周三径一,即π=3。
按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容六觚(原作“弧”,依戴震校,以下诸条同),之一面与圆径之半,其数均等,合径率一而弧周率三也。
《九章算术·方田》三国魏·刘徽注
【评】这是刘徽记载的前人关于圆面积公式的论证,它基于周三径一之率,因而远非公式的严格证明。刘徽有关于以半周乘半径等于圆面积这一公式的严格证明,请参见“极限”类。
按:圆径自乘为外方。三之,四而一者,是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径,其幂即外方四分之一也。因而三之,即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆,失之于微少。于徽新术,当径自乘,又以一百五十七乘之,二百而一。
《九章算术·方田》三国魏·刘徽注
【评】这是刘徽对圆田又术的注,指出仅得出圆内接正12边形面积,并用所求的圆周率π=157/50修正了《九章》公式。
六觚之周,其于圆径,三与一也。故六觚之周自相乘为幂,若圆径自乘者九方,九方凡为十二觚者十有二,故曰十二而一 ,即十二觚之幂也。今此令周自乘,非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一,所得又非十二觚之类也。若欲以为圆幂,失之于多矣。以六觚之周十二而一可也。于徽新术,直令圆周自乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。其率:二十五者,圆幂也;(原本无此七字,李潢补)三百一十四者,周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分,令自乘得幂三十九万四千三百八十四分,又置圆幂三万一千四百分,皆以一千二百五十六约之,得此率。
《九章算术·方田》三国魏·刘徽注
【评】这是刘徽对另一圆面积公式的注,证明了其不精确,并用所求的圆周率修正了这个公式。
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