根与系数的关系

        以不知为知,不可也,而犹可也,以不可知为知,大不可也。何可乎以不知为知,何不可乎以不可知为知?物予我以知,我暂不知,会心焉,有待也。物不任我以知,我谬附以知,见魔焉,迷不反也。嗟乎,使物有知,不且笑知已乎。故曰:知其不可知,知也。辛酉仲秋……与[江]郑堂察秦九韶开方术及李冶天元一术,多以不可知为知者,遂就二乘方以下简且易者,略为条目以正之,首录一册,寄吾友焦理堂。理堂其乐道予之知欤,末不亦乐乎?予之不知也。歙汪莱。
        

清·汪莱《衡斋算学》卷五叙

        【评】汪莱《第五册算书》胪列了若干二次三次方程,讨论了它们的根与系数符号的关系。所谓可知即只有一个正根,否则为不可知。一个二次方程两个正根,在杨辉引刘益《议古根源》实际上已经出现,未引起人们的注意。汪莱在中国数学史上第一次提出这个问题,其功大焉。唯所述繁琐,此不引述。
        是卷穷幽极微,真算氏之最也。愚更以正负开方为说,括为三例。其一,凡隅、实异名,正在上,负在下,或负在上,正在下,中间正负不相闻者,可知 ^①。其二,凡隅、实异名,中间正负相间,开方时其与隅异名之从、廉皆翻而与隅同名者可知,不者不可知 ^②。其三,凡隅、实同名者不可知 ^③。质诸孝婴 ^④,未审以为何如?计余与孝婴别已二载,今孝婴假馆六安,余又旅寓杭州,相去千馀里,安得同共一堂,相与极谕也,念之,念之。壬戌 ^⑤八月初九元和李锐跋。
        

清·李锐《第五册算书跋》(《(衡斋算学》卷六)

        [注]①此条意谓,在开方式a ₀x ^k +a ₁x ^n-1+…+a _n＝0中,若a ₀,a _n不同符号,中间a ₁,a ₂…a _n-1各项符号不相间隔,则开方式仅有一正根,故谓“可知”。②此条意谓,若a ₀,a _n不同符号,而“a ₁,a ₂…a _n-1符号相间,求出一个正根,开方式降低一次为a ₀x ^n-1+a ₁x ^n-2+…+a _n-1′=0,若a ₁′,a ₂′,……a _n-1′都与a ₀同号,原开方式只有一个正根,故可知;否则,还有会有其他正根,因而不可知。③此条意谓,若a ₀,a _n同符号,开方式如果有根,则正根决不止一个,所以“不可知”。④孝婴为汪莱字。下两条中里堂为焦循号,理堂为其字。尚之为李锐字。⑤壬戌为清嘉庆七年,1802年,下辛酉为1801年。乙卯为1795年。庚申为1800年。癸亥为1803年。
        记曰:右一篇 ^①,吾友李尚之为余《第五册算书》作也。余书以辛酉之冬寄里堂……
        论曰:尚之此例,足为余书之凡,而余书所谓不可知之数,有二数相淆者,有三数相淆者,推之三乘方以上,则有恒河沙、不可思议、无量数相淆者,必辨其为二、为三、为恒河沙、不可思议、无量数,皆著其求之之法,以示后人,使不能生疑惑,则又非例所能括者。故余于二乘方以下已煞费苦心,而尚之亦不得例也。且尚之之第二例亦未有当处。盖所谓隅、实异名,而中间从、廉正负相间者,即余书之第五十一条也。此条有可知,有不可知,若非先以余法审别之,而骤以正负法开方,设遇不可知之数,如一与一千与一十万三数相淆;而题为一万万真数少一万,一十万一千根,积又多一十万一千一,一乘方积与一二乘方积相等者,自一至一十万相去远矣,茫无进退之限,初商何以下算?初商不能下算,何以开方而知其翻为同名与否?又况虽翻而不同名亦有可知者。如八百真数,少一百根,积又多一十二,一乘方积与一二乘方积相等,则每根之数惟十,断无相淆, ^②以余补法按之可以得其故矣。
        

清·汪莱《衡斋算学》卷六

        ①指上条,李锐《第五册算书跋》 ②汪莱1803年到扬州在焦循处见到李锐《第五册算书跋》中概括的三条,甚为赞赏,又指出第二条“有未当处”,他举一反例:x ³-12x ²+100x-800=0,求出正根x=10后,降低一次的开方式x ²-2x+80=0,一次项系数与a ₀不同号,仍为正根,因此原开方式只有一个正根,可知。
        岁乙卯,余在浙始得见《益古演段》、《测圆海镜》两书,急寄尚之。尚之喜甚,为之疏通、证明,复推其术于弧矢,著书以明郭太史《授时草》所用天元一术。已而予又得秦氏所为《数学大略》,亦撰为《天元一释》、《开方通释》以述两家之学。庚申冬与尚之同客武林节署中,互相证订,喜古人绝学复续于今日。明年,孝婴来扬州,因以语之。壬戌春,予在京师,孝婴自六安寄一书来,甚言秦、李两家之非而剖析其可知不可知,《衡斋算学》中第五册是也。是秋,予复在浙,尚之寓于孤山,买舟访之,以孝婴之书与相参核,尚之深叹为精善,复以两日之力作开方三例,以明孝婴之书之所以然,于是秦、李两家之学至此益明。今年村居教徒……孝婴谓予曰:“或谓尚之诮吾所著书,有之乎?”予因出尚之所为《衡斋算学跋》与之。孝婴怡然曰:“尚之固不我非也。”……门人请曰:“秦、李之书,李君疏之,汪君难之,不已异乎?”予曰:“此两君所以是也。……盖非深入其室者不能疏,亦非深入其实者不能难。得李君之疏而秦、李之书明,得汪君之难而秦、李之书益明。古人立言,因乐夫人之深入而难我,不乐人之略观大意而谄附我也。”……嘉庆癸亥中秋前一日江都焦循记。
        

清·焦循《第五册算书记》(《衡斋算学》卷六)

        【评】以上三段概述了汪莱关于开方式根与系数关系的研究,李锐对汪莱成果的概括,汪、李二家之互相辩驳,以及焦循所叙汪、李研究过程。“谈天三友”治学之严谨,谦虚之风格,实事求是之精神,跃然纸上。
        凡上负、下正可开一数 ^①。除一,平方三,立方八,三乘方二十 ^②。
        上负、中正、下负,可开二数。平方一,立方五,三乘方一十八。
        上负、次正、次负、下正,可开三数或一数。立方一、三乘方七。
        上负、次正、次负、次正、下负,可开四数或二数。三乘方一。(自注:假令有五位,上二位负,下三位正,即是上负下正,非止谓上一位负、下一位正也。它皆仿此。)
        凡可开三数或止一数,可开四数或止二数,其二数不可开,是为无数。凡无数必两无,无一数者。
        

清·李锐《开方说》卷上(见《李氏算学遗书》)

        [注]①可开一数,指有一正根。卷上不讨论无正根开方式。开方式仍按实在上、隅在下的顺序排列,并且规定“实常为负”。②此指出上负、下正的一次方(即除法)、平方、三次方、四次方、开方式的排列情形的个数。比如三次方有二十种上负、下正的排列方式。下同。
        【评】李锐在此最终提出了方程正根的个数与各项系数符号变化次数之间的关系法则,即符号变化一次有一个正根,变化二次有二个正根,变化三次有三个或一个正根,变化四次有四个或二个正根。并且,如果正根个数不等于符号变化次数,则所缺少的正根,必成对。此成果比汪莱的以及他本人在《汪莱第五册算书跋》中提出的三条,更为严格、完整,同笛卡儿符号法则相比不分轩轾,虽比笛卡儿晚近二百年,却是独立完成的。