负根和重根

        凡商数为正。今令之为负。则凡平方皆可开二数,立方皆可开三数或一数,三乘方皆可开四数或二数。异名相步所得为正商,同名相步所得为负商 ^①。
        

清·李锐《开方说》卷中(见《李氏算学遗书》)

        [注]①以下作者的例题中说:“以正方步负实,异名相步,得正商”。“以正隅步正方,同名相步,得负商”。“以正廉步正方,同名相步,得负商”。“以正隅步正廉,同名相步,得负商”。……
        【评】中国人认识负数为最早,然李锐以前,从未考虑方程负根。李锐指出方程可有负根,是个突破。从李锐所举例题看出,求负根的方法与求正根一样,用增乘开方法。如(此处用阿拉伯数字代替筹式,将从式改成横式)
        凡平方二数,以平方开一数,其一数可以除代开之。立方三数,以立方开一数,其二数可以平方代开一数,除代开一数。三乘方四数,以三乘方开一数,其三数可以立方代开一数,平方代开一数,除代开一数。其法以本乘方先开一数。副置先开数加减(原注:同名减,异名加)末商,名曰寄位,以其馀递降一乘开之。所得加减寄位(原注:同名加,异名减)为又一数。
        

清·李锐《开方说》卷中(《李氏算学遗书》)

        【评】李锐在此指出,求高次开方式的正根,并不需每次开原高次方,而可以求得一实根后,开方式降低一次,另一实根由开低一次开方式求得,化简了解法。
        凡可开二数以上,而各数俱等者,非无数也。以代开法入之,可知。
        

清·李锐《开方说》卷下(见《李氏算学遗书》)

        【评】李锐在此实际上承认开方式可能有重根。这也是一个重大突破。《开方说》卷下还有若干命题,使方程论形成了一门比较完整的学科。
        凡实、方、廉、隅,如意立一数为母,一乘隅,再乘廉,三乘方,四乘实,每上一位则增一乘,如是累乘,讫,如法开之,所得为母乘所求数之数,以母除之,得所求。
        凡实、方、廉、隅,如意立一数为母,一除隅,再除廉,三除方,四除实,每上一位则增一除,如是累除,讫,如法开之,所得为母除所求数之数,以母乘之,得所求。
        凡开方有正商、负商者,以其实、方、廉、隅之正、负,隅一位易之,如法开之,则所得正商变为负商,负商变为正商。
        

清·李锐《开方说》卷下(《李氏算学遗书》)

        【评】此三条是关于高次开方式系数与根值变化的重要命题。前两条是说,设m为任意实数,a ₀x ⁿ+a ₁ x ^n-1+…+a _n-1 x+a _n＝0的根为x,则ma ₀y ⁿ+m ²a ₁y ^n-1+…+m ⁿa _n-1y+m ⁿ⁺¹a _n＝0的根y=mx,从而x=。特别,若m=-1,便是第三条。