之分法

        ……得,合以平方开之 ^①。今不可开。[四库馆臣案:不可开者,谓廉、隅数多,而得数又不能尽也。]先以隅法二十二步半乘实二万三千单二步,得五十一万七千五百四十五步正,为实。元从六百四十八负,依旧为从。一,益隅。平方开之,得四百六十五步。以元隅二十二步半约之,得二十三步三分之二,为内池径也。
        

元·李冶《益古演段》卷中

        [注]①此天元式表示方程 - 22.5x ²-648x+23002=0,为《益古演段》第四十问之法的一部分。
        【评】这是李冶处理首项系数不是1,而根为有理数时的一种方法,它实际上相当于在开方式a ₀x ²+a ₁x+a ₂＝0中作变换y=a ₀x,化成y ²+a ₁y+a ₀a ₂＝0,开方求出y,则x=。朱世杰称为“连枝同体术”,或“之分法”。
        今有直积自乘减和幂馀 ^①一万一千七百五十一步一百四十四分步之八十三。只云较不及平 ^②四步一十二分步之七。问长、平各几何?
        术曰:立天元一为平,如积求之,得一百六十九万五千二百五十二为益实,三千九百六十为从方,一千七百二十九为从上廉,二千六百四十为益下廉,五百七十六为从隅,三乘方开之 ^③,得平。不尽,按之分法求之,再得一百四万二千八十四亿五千二百八十一万二千八百为益实,二千三百三十七亿三十六万一百九十二为从方,九千一百九十万二千五百二十八为从上廉,一万五千七百九十二为从下廉,一为正隅,三乘方开之,得三百八十四,与分母约之,合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴》卷上之六(万有文库本)

        [注]①此谓(ab) ²-(a+b) ²＝11751 83/144。②此谓a-(b-a)=。③此为开方式576x ⁴-2640x ³+1729x ²+3960x-1 695252=0。
        【评】这是朱世杰用之分法解决开方不尽的四次开方式的正根问题。他在求出原开方式的正根的整数部分8之后,得馀式576x ₁ ⁴+ 15792x ₁ ³+159553x ₁ ²+704392x ₁-545300=0,分别以576 ³、576 ²、576乘实、一次项系数、二次项系数。三次项系数不变,以1为四次项系数,这相当于作变换y=576x ₁,开方式变成y ⁴+ 15792y ³ + 91902528y ² +233700360192y-104208452812800=0,求出y=384,x ₁＝。x=。这里有两点值得注意,一是他把之分法推广到三次、四次开方式。二是在求出根的整数部分后再应用之分法,这都是比李冶有改进的地方。