开立方术

        开立方(刘徽注:立方适等,求其一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。(刘徽注:言千之面十,言百万之面百。)议所得,以再乘所借一算为法,而除之。(刘徽注:再乘者亦求为方幂,以上议命而除之,则立方等也。)除已,三之为定法。(刘徽注:为当复除,故豫张三面,以定方幂为定法也。)复除,折而下。(刘徽注:复除者,三面方幂以皆自乘之数,须得折、议,定其厚薄尔。开平幂者,方百之面十;开立幂者,方千之面十。据定法已有成方之幂,故复除当以千为百,折下一等也。)以三乘所得数置中行。(刘徽注:设三廉之定长。)复借一算,置下行。(刘徽注:欲以为隅方。立方等未有定数,且置一算定其位。)步之,中超一,下超二等[原本讹作“位”,钱宝琮校改。](刘徽注:上方法,长自乘而一折。中廉法,但有长,故降一等。下隅法,无面长,故又降一等也。)复置议,以一乘中,(刘徽注:为三廉备幂也。)再乘下,(刘徽注:令隅自乘为方幂也。)皆副以加定法。以定除。(刘徽注:三面、三廉、一隅皆已有幂,以上议命之而除去三幂[原本讹作袤,李潢校改]之厚也。)除已,倍下、并中,从定法。(刘徽注:凡再以中,三以下,加定法者,三廉各当以两面之幂,连于两方之面。一隅连于[原本脱以上八字,戴震校补]三廉之端,以待复除也。言不尽意,解此要当以棋,乃得明耳。)复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。(刘徽注:术亦有以定法命分者,不如故幂开方,以微数为分也。)若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之,讫,开其母以报除 ^①。若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一 ^②。
        

汉《九章算术·少广》

        [注]①在被开方数是分数的情形下,若分母开得尽,则②若分母不可开,则
        【评】此为中国数学史上第一次提出的开立方程序及其刘徽的几何解释。
        假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸,东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升,每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步。上山三当四,下山六当五,水行一当二。平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积,四县共造,一日役毕。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问给斜正袤,与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上下高、广各几何?
        求堤上、下广及高、袤术曰:一人一日程功乘总人为堤积。以高差乘下广差,六而一,为鳖幂。又以高差乘小头广差,二而一,为大卧堑头幂。又半高差乘上广多东头高之数,为小卧堑头幂。并三幂为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数,以减堤积,馀为实。又置半高差,及半小头广差与上广多小头高之数,并三差,以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小高、上广多小高及半高差,兼半小头广差加之为廉法,从。开立方除之,即小高 ^①。加差即各得广、袤、高。又正袤自乘、高差自乘,并,而开方除之,即斜袤 ^②。
        求甲县高、广、正斜袤术曰:以程功乘甲县人,以六因取积。又乘袤幂,以下广差乘高差为法除之,为实。又并小头上、下广,以乘小高,三因之为垣头幂。又乘袤幂,如法而一,为垣方。又三因小头下广,以乘正袤,以广差除之,为都廉,从。开立方除之,得小头袤,即甲袤 ^③。……(自注:此平堤 ^④在上,羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝,中一堑堵。今以袤再乘六因积,广差乘袤差而一,得截鳖腝袤再自乘为立方一。又堑堵袤自乘为幂一,又三因小头下广,大袤乘之,广差而一,与幂为高,故为廉法。又并小头上、下广,又三之,以乘小头高为头幂,意同六除。然此头幂,本乘截袤。又袤乘之,差相乘而一。今还依数乘除一头幂为从。开立方除之,得截袤。)
        

唐·王孝通《缉古算经》

        [注]①设堤上广a,东下广b ₁,西下广b ₂,东头高h ₁,西头高h ₂,长l,此为已知体积V及b ₂ b ₁,b ₁-a,h ₂-h ₁,a-h ₁ ,l-h ₁,求h ₁的三次方程:②斜囊=③设甲所筑堤堤积V ₁,此为求甲县筑堤长度l1的三次方程:。④此平堤即《九章算术》中之堤。此所筑堤由一堤(在上)与一羡除(在下)组成。
        【评】祖冲之《缀术》失传后,开带从立方的问题最先出现在《缉古算经》中,其第二——十四问都是需用三次方程解决的工程问题,此是第三问术文的一部分。实际上,《九章算术》开立方术求根的第二位得数起,就是开带从立方。
        假令有勾股相乘幂七百六、五十分之一,弦多于勾三十六、十分之九。问三事各多少?
        术曰:幂自乘,倍多数而一,为实。半多数为廉法,从。开立方除之,即勾 ^①。以弦多数加之,即弦。以勾除幂,即股。[自注:勾股相乘幂自乘,即勾幂乘股幂之积。故以倍勾弦差而一,得一勾与半差相连,乘勾幂为方 ^②。故半差为廉法,从,开立方除之。)
        

唐·王孝通《缉古算经》

        [注]①此为已知ab,c-a,求a的三次方程:。②此援引,因此，从而建立求勾的三次方程。
        【评】《缉古算经》第十五——十八问都是基于勾股的三次方程问题,此是第十五问。其第十九、二十问系形如x ⁴+ax ²＝A的四次方程,其中a,A均大于0。王氏通过两次开平方求其正根。惜影宋本残阙严重,今传本系清张敦仁校补。
        立方法 ^①曰:(杨辉注:贾宪《细草》编写活法。)置积为实,别置一算,名曰下法。(原注:原下之法。)于实数之下自末至首常超二位。(原注:约实,原乘之法过二位,今还原,故超二位。一下定一,千下定十,百万下定百。)上商置第一位得数。(原注:以方数为主,自乘求商,不欲叠注,详见《细草》。)下法之上亦置上商。(即平方面。)又乘为平方,命上商除实;讫。(原注:除去一立方也。)三因平方,一退;亦三因从方面,二退,为廉。(原注:第一位得数乃立方,其第二位有三个廉一小隅为助,三因方、廉,退方一、廉二者,盖其数有等第也。)下法三退。(原注:原超二位,今退三位,以定上商。)续商第二位得数,下法之上亦置上商为隅。(原注:第二位中隅见在解。)以上商数乘廉、隅。(原注:以平乘高。)命上商除实,讫。(原注:第二位取用如此。)求第三位。(原注:即依第二位取用。以上商乘廉,三因隅法,并入为方。又以方法之下,复置上商,三因为廉。其方法一退,廉法再退,下法三退。)续商第三位得数。下法之上,亦置上商为隅,三因廉法,隅自乘之,皆命上商除实。(原注:见第二位解。)适尽,合问。
        

《九章算术·少广》宋·贾宪细草(《永乐大典》卷一六三四四引杨辉《详解》)

        [注]①此法在《九章纂类》中杨辉称为“贾宪立成释锁立方法”。
        【评】贾宪的立成释锁立方法改进了《九章算术》的方法,与现今方法无异。