开平方术

        开方(刘徽注:求方幂之一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。(刘徽注:言百之面十也,言万之面百也。)议所得,以一乘所借一算为法,而以除①。(刘徽注:先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。)除已,倍法为定法。(刘徽注:倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。)其复除,折法而下。(刘徽注:欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。如是当复步之而止,乃得相命,故使就上折下。)复置借算步之如初,以复议一乘之,(刘徽注:欲除朱幂之角,黄乙之幂,其意如初之所得也。)所得,副以加定法,以除。以所得副从定法。(再以黄乙之面加定法者,是则张两青幂之袤。)复除,折下如前。若开之不尽者为不可开,当以面命之 ^②。(刘徽注:术或有以借算加定法而命分者 ^③,虽粗相近,不可用也。凡开积为方,方之自乘当还复其积分。令不加借算而命分,则常微少。其加借算而命分,则又微多。其数不可得而定。故惟以面命之,为不失耳。譬犹以三除十,以其馀为三分之一,而复其数可举。不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃[各本讹作“乘”,钱宝琮校改]之数,不足言之也。)若实有分者,通分内子为定实。乃开之,讫,开其母,报除。若母不可开者,又以母[原本此处衍“再”字,李潢校删。]乘定实,乃开之,讫,令如母而一。
        

汉·《九章算术·少广》

        [注]①除,在中国古代数学中有两种涵义,一是现今“除法”的“除”,一是减的意思。此处《九章》用的是前者,即以法除实,其商的整数部分恰为“议所得”。刘徽注用的是后者,即议所得(其几何解释为“黄甲之面”)的平方减实。②此“面”指被开方数之面,相当于今天所谓“方根”,由以下刘徽注可以证明 。③此为刘徽前求不尽根的近似值的方法,设其根的整数部分为a,馀数为r,则。④被开方数是分数时,若分母b开得尽,则;若开不尽,则。
        【评】现存古籍中,“开方”最先见之于《周髀算经》,然未给出开方程序。此为在中国第一次出现的开平方程序及刘徽的几何解释,值得注意的是刘徽求微数,以十进分数表示无理根的近似值的方法,开后来十进小数之先河,且为圆周率精确计算的先决条件。
        今有邑方不知大小,各中开门。出北门二十步有木。出南门一十四步,折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何?
        术曰:以出北门步数乘西行步数,倍之,为实。并出南北门步数为从法,开方除之,即邑方。
        

汉·《九章算术·勾股》

        此以折而西行为股,自木至邑南[原本脱“南”字,戴震校补]一十四步为勾。以出北门二十步为勾[原本讹作“弦”,戴震校正]率,北门至西隅为股率[原本此处衍“单望”二字,戴震校删]即半广数。故以出北门乘折西行股,以半股[原本“折西”讹作“至南”,脱“半”下“股”字,参考戴震校正。]率乘勾之幂。然此[原本讹作“北”,戴震校正]幂居半,以西行,故又倍之,合东,尽之也。
        此术之幂,东西如邑方,南北自木尽邑南[原本脱“如邑方”,“北”下衍“邑”字,戴震校改]十四步之幂。各南、北步为广,邑方为袤,故连两广为从法[原本“从法”误倒,戴震校正],并以为隅外之幂也。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        【评】现今求方程的正根,中国古代都称开方术。求形如x ²+ax=b的方程的正根称为开带从方。开平方术中求根的第二位得数实际上是开带从方。虽然,此问为中国古代首次提出的开带从方问题。刘徽的两段注文则分别用率和出入相补原理说明开方式的正确性。
        今有积二十三万四千五百六十七步。问为方几何?
        术曰:置积二十三万四千五百六十七步为实。次借一算为下法,步之,超一位,至百而止。商置四百于实之上。副置四万于实之下,下法之上,名为方法。命上商四百除实。除讫,倍方法,一退,下法再退。复置上商八十,以次前商。副置八百于方法之下,下法之上,名为廉法。方、廉各命上商八十,以除。讫,倍廉法,上从方法。一退方法,下法再退。复置上商四,以次前。副置四于方法之下,下法之上,名曰隅法。方、廉、隅各命上商四,除实。除讫,倍隅法从方法[原本无此六字,戴震校补]。上商得四百八十四,下法得九百六十八,不尽三百一十一。是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
        

南北朝《孙子算经》卷中

        【评】《孙子算经》没有抽象性的开方术,只有例题,从编著思想和数学理论上说,比《九章算术》退步,且自求第二位得数起作商、实、方法、廉法(或隅法)、下法五行布算,亦不如《九章算术》作议所得、实、法、借一算四行布算简捷。然继承刘徽,以法命上商除实,且不重置借算步之,而采用退位,都是进步。《张丘建算经》的方法与此同。
        法曰 ^①:置积为实,别置一算,名曰下法。(原注:原下之法。)于实数之下,自末位常超一位。(原注:初乘时过一位,今超一位。)约实至首位尽而止。(原注:一下定一,一百下定十,万下定百,百万下定千。)于实上商置第一位得数。(原注:以方法一一,二二,三三,四四,五五,六六,七七,八八,九九之数为商,商本体实数。)下法之上亦置上商数。(原注:即原来法数也。)名曰方法。(原注:于本积内去其一方。)命上商除实。(原注:法实相呼,以破积数。)二乘方法,一退为廉。(原注:一方带两直,以助其状如廉,故二乘退位。)下法再退。(原注:下法即定位之算,再退重定。)于上商之次,续商第二位得数。(原注:与上意同。)于廉法之次,照上商置隅。(原注:一方带二廉,正阙一角,角即名隅。)以方、廉二法(原注:亦原乘之法也。)皆命上商,除实。二乘隅法,并入廉法,一退。(原注:倍隅入廉作一大方,以求次位得数。)下法再退。(原注:前意。)商置第三位得数。下法之上,照上商置隅,以廉、隅二法,皆命上商,除实。(原注:第二位解意同。)得平方一面之数。(原注:更有不尽之数,依第三位体面,倍隅入廉,退位商之。)
        

《九章算术·少广》宋·贾宪细草(《永乐大典》卷一六三四四引杨辉《详解》)

        [注]①在《永乐大典》引杨辉《九章纂类》及《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法·九章纂类》中,此称为“贾宪立成释锁平方法”。
        【评】贾宪继承《九章算术》的传统,屏弃《孙子》、《张丘建》等将具体数字写入术文的缺陷,同时吸取《孙子》等开方法的长处,写出了抽象性的立成释锁开方法,与现今的开方程序一致。