等差级数

        今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升。问中间二节欲均容,各多少?
        术曰:以下三节分四升为下率,以上四节分三升为上率。(刘徽注:此二率者,各其平率也。)上、下率以少减多,馀为实。(刘徽注:按:此上、下节各分所容为率者,各其平率。上、下以少减多者,馀为中间五节半之凡差,故以为实也。)置四节、三节,各半之,以减九节,馀为法。实如法得一升,即衰相去也。(刘徽注:按:此术上、下节所容已定之节,中间相去节数也。实者,中间五节半之凡差也。故实如法而一,则每节之差也。)下率一升少半升者,下第二节容也。(刘徽注:一升少半升者,下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。)
        

汉《九章算术·均输》

        【评】此实际上是等差级数问题,《九章算术》用衰分术求各项。相去衰,即公差。
        今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里。良马先至齐,复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何?
        术曰:……求良马行者,十四乘益疾里数而半之,加良马初日之行里数,以乘十五日,得十五日之凡行。〔原文脱此上十二字,戴震校补。〕……求驽马行者,以十四乘半里,又半之,以减驽马初日之行里数,以乘十五日,得驽马十五日〔原文脱以上六字,戴震补。〕之凡行 ^①。……
        

汉《九章算术·盈不足》

        〔注〕①包括此两段在内的文字,戴震、钱宝琮认为是刘徽注,汪莱、李潢认为是《九章算术》经文。盖此及此前三十九字,原本皆作注文。戴震将前三十九字改作经文。
        【评】《九章算术》有几个等差级数的问题,然项数太少,并且只求各项或公差。此处却含有等差级数前n项和公式S _n＝(a ₁+d)n,及第n项的公式a _n＝a ₁+(n-1)d,其中d是公差。是为中国数学史上第一次出现的等差级数公式。
        今有女善织,日益功疾。初日织五尺,今一月,共织九匹三丈。问日益几何?
        术曰:置今织尺数,以一月日而一,所得,倍之。又倍初日尺数,减之,馀为实。以一月日数初一日减之,馀为法。实如法得一。
        

南北朝北魏《张丘建算经》卷上

        【评】此为中国数学史上首次出现的已知等差级数首项a ₁,项数n,前n项和S _n,求公差d的公式:d=。
        今有女子不善织,日减功迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?
        术曰:并初、末日织尺数,半之,馀,以乘织讫日数,即得。
        

南北朝北魏《张丘建算经》卷上

        【评】此为已知等差级数首项a ₁,末项a _n,项数n,求其前n项之和的公式S _n＝(a ₁+a _n)n。它与《九章算术》(或刘徽)的公式等价。
        今有户出银一斤八两一十二铢。今以家有贫富不等,令户别作差品,通融出之。最下户出银八两,以次户差各多三两。问户几何?
        术曰:置一户出银斤两铢数,以最下户出银两铢数减之,馀,倍之,以差多两铢数加之,为实。以差两铢数为法。实如法而一。
        

南北朝北魏《张丘建算经》卷中

        【评】此为已知等差级数的首项a ₁,公差d,各项的平均数a,求其项数n的公式:n=〔2 (a-a ₁)+d〕/d。