四元消法

        两仪化元 今有股幂减弦较较与股乘勾等 ^①,只云勾幂加弦较和与勾乘弦同 ^②。问股几何?
        草曰:立天元一为股,地元一为勾弦和。天地配合,求之得今式,求到云式，互隐通分，消之，内二行得式，外二行得，两位相消得开方式，平方开之，得股四步，合问。
        罗士琳补草曰：立天元一为股，地元一为勾弦和 ^⑥。天元自之，得为股幂。地元减天元，得为弦较较，以减股幂得为勾乘股 ^⑦。以股除之，得为勾 ^⑧。自之，得为弦幂 ^⑩。副以勾自之，得为勾幂 ^⑾。乃并勾、股二幂，得，与弦幂相消得为今式。次以地元除股幂，得为勾弦较 ^⒀，加地元，得为倍弦。以勾弦较减地元，得为倍勾 ^⒁。与倍弦相乘，得为四段勾乘弦，于上 ^⒂。副以倍勾自之，得为四段勾幂 ^⒃。又以天元加地元；得，为弦和和，减倍勾，得为弦较和 ^⒄，四之得为四段弦较和，加四段勾幂，得，与上相消 ^⒅，得，可半则半之，得为云式 ^⒆。消今式，得，半之，得为右式 ^⒇。消今式得，为左式 ^〔21〕。左右对列，内二行相乘，得，外二行相乘，得，内外相消，得，开平方 ^〔22〕，得四步，合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

        [注] ①此即b ²-[c-(b-a)]=ab,c-(b-a)为弦较较。
        ②此即a ²+[c+(b-a)] =ac,c+(b-a)为弦较和。
        ③此即
        ④内二行得4x ²+8x,外二行得x ³+2x ²。
        ⑤此即开方式x ²-2x-8=0。⑥设x为b,y为c+a。
        ⑦c-(b-a)=-x+y,b ²-[c-(b-a)]=x ²+x-y=ab。
        ⑧a=x+1-。
        ⑨c=(c+a)-a=y-(x+1-)=-x-1+y+。
        ⑩c ²＝x ²+2x-2xy-4y+y ²+1-+2+。
        (11)a ²＝x ²+2x-2y+1-+。
        (12)a ²+b ²＝2x ²+2x-2y+1-+。
        (13)=c-a。
        (14)2c=(c+a)+(c-a)=+y,2a=(c+a)-(c-a)=-+y。
        (15)4ac=+y ²。(16)4a ²＝-2x ²++y ²。
        (17)c+(b+a)=x+y,c+(b-a)=x+。
        (18)4a ²+4[c+(b-a)]=-2x ²+4x+++y ²＝4ac=+y ²
        (19)-2x ²+4x=0,以2x约,两端乘y ²,得云式。
        (20)以云式减今式,以2y约,得x ²-2y=0。
        (21)将2y=x ²代入今式,得-2x ²-4x+xy+2y=0
        (22)相当于将2y=x ²与xy+2y=2x ²+4x的两端交叉相乘,相消,得开方式x ² - 2x-8=0。
        【评】此为朱世杰作为范题的二元术解法。
        三才运元 今有股弦较除弦和和与直积等。只云勾弦较除弦较和与勾同 ^①。问弦几何?
        草曰:立天元一为勾,地元一为股,人元一为弦,三才相配,求得今式,求得云式,求得三元之式。以云式剔而消之，二式皆人易天位，前得，后得，互隐通分，相消，左得，右得，内二行得，外二行得，内外相消，四约之，得开方式，三乘方开之，得弦五步，合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

        [注]①此即。②此即联立方程组。③此即四次开方式:x ⁴-6x ³+4x ²+6x-5=0
        【评】此为朱世杰的三元术范题。其草简括,罗士琳、沈钦裴均有补草,今略。
        四象会元 今有股乘五较与弦幂加勾乘弦等 ^①。只云勾除五和与股幂减勾弦较同 ^②。问黄方带勾股弦共几何?
        草曰:立天元一为勾,地元一为股,人元一为弦,物元一为开数。四象和会求之,求得今式,求得云式,求得三元之式,求得物元之式。四式和会,消而剔之,式皆物易天位,得前式:,后式,便为左行。以左行消后式,便为右行。内二行得式,其外二行得式,内外二行相消,三约,得开方式，平方开之 ^④,得一十四步,合前问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

        [注]①五较为勾股较b-a,勾弦较c-a,股弦较c-b,弦和较(a+b)-c,弦较较c-(b-a)。此谓b{(b-a)+(c-a)+(c-b)+[(a+b)-c]+[c-(b-a)]}=c ²+ac。②五和为b+a,c+a,c+b,c+(b+a),c+(b-a),此谓{(b+a)+(c+a)+(c+b)+[c+(b+a)]+[c+(b-a)]}/a=b ²-(c-a)。③此为联立方程:④此即二次开方式4x ²-7x-686=0。
        【评】此为朱世杰四元术之范题。文字简括。罗士琳、沈钦裴均有补草,今略。从以上诸范题可以看出,朱世杰谙熟多元高次方程解法,并且精通多项式的加、减、乘、除(限于除数为单项式)。
        凡加法,以太加太,以某元加某元,各齐其位。同名相加,异名相减。相加者,正者正之,负者负之;相减者,本数大则本数正者正之,负者负之,加数大则加数正者正之,负者负之;无对者,则正者正之,负者负之。
        凡减法,亦齐其位。同名相减,异名相加。相减者,本数大则正者正之,负者负之,减数大则正者负之,负者正之;相加者本数正者正之,负者负之;无对者本数正者正之,负者负之,减数正者负之,负者正之。
        凡相消得今、云诸式后,加、减不必齐其位,可以太加、减元,亦可以元加、减太,且可以诸乘数与太、元相加减,但其格式次序则不可乱,如以此行第一格加减彼行第二格,则此行第二格当加减彼行第三格也。
        凡得今、云诸式后,可以同名相加减,亦可以异名相加减。其异名相加,一如减法,相减一如加法。
        凡乘法亦齐其位,列为左、右两式。以左式太起,自上而下,遍乘右式右边第一行,复遍乘第二行,以次至右式左边末一行止,为乘第一次;又以左式太下一格遍乘右式,为乘第二次;以次至太下末一格乘毕。复以太左一行自上而下以次遍乘右式,如此至太左末一行乘毕。复以太右诸行如法遍乘右式。用物元者则又以太上诸格及太上左右诸格乘。凡左式有若干格,则乘若干次。同名相乘,所得为正;异名相乘,所得为负。乘毕,同名相加,异名相减,各依其位,并之。如天元乘太则为天元,天元乘天元则为天元自乘数,天元乘地元则为天地元相乘数,各以所乘定其位也。
        凡除法有四元者皆不受除,寄为母。若仅有天元或仅有三元者,则可以天元除,以除天元一层得太一层,以除太一层得太上一层,凡除几次则上几层。若仅有二元者,则并可以地元除,以除地元一行得太一行,以除太一行得太右一行,凡除几次则右几行。若除法中带有他数者,亦不受除,寄为母。……
        

清·李善兰《四元解》卷一

        【评】朱世杰创造四元术,有诸元多项式四则运算的实际应用,而未概括出运算法则。李善兰则概括了四元术中的四则运算法则。