衰分术

        衰分术曰:各置列衰,副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。不满法者,以法命之。
        

汉《九章算术·衰分》

        【评】这是完整的比例分配算法。列衰即是相与率。设所分为A,列衰为a _i(i=1,2,…n),则每一部分A _i＝(i=1,2,…n)。
        法集而衰别。数本一也,今以所分乘上别,以下集除之,一乘一除适足相消,故所分犹存,且各应率而别也。于今有术,列衰各为所求率,副并为所有率,所分为所有数。
        

《九章算术·衰分》三国魏·刘徽注

        【评】这是刘徽对衰分术的注,证明了衰分术的正确性,并进而用今有术解决衰分问题。
        返衰术曰:列置衰而令相乘,动者为不动者衰 ^①。
        

汉《九章算术·衰分》

        [注]①衰分术以a ₁,a ₂,…a _n为衰,返衰术则以为衰。各部分显然,求A _i,则不用m _i,此即动者(其馀各顶)为不动者(所求者)衰。
        【评】返衰术也是比例分配算法,其与衰分术的区别是以衰分术中列衰的倒数为列衰。
        今此令高爵出少,则当使大夫五人共出一人分,不更四人共出一人分,故谓之返衰。人数不同,则分数不齐,当令母互乘子,母互乘子则动者为不动者衰也。亦可先同其母,各以分母约,其子为返衰。副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。
        

《九章算术·衰分》三国魏·刘徽注

        【评】这是刘徽对返衰术的注,解释了为什么称作“返衰”及《九章》的“动者为不动者衰”,又提出了新的解法。前者已在上条说明。后者的意思是:先同其母m ₁m ₂…m _n,各以分母m _i(i=1,2,…n)约,其子m ₁m ₂…m _i-1m _i+1…m _n(i=1,2,…n)为返衰,用衰分术,殊途同归。
        术曰:令县户数各如其本行道日数而一,以为衰,……副并为法,以赋粟车数乘未并者各自为实,实如法得一车。有分者上下辈之。
        

汉《九章算术·均输》

        【评】均输是解决平均负担问题,它的起源也很早。实际上是配分比例问题,亦归结为衰分术。
        按:此均输,犹均运也。令户数出车以行道日数为均,发粟为输。据甲行道八日,因使八户共出一车;乙行道十日,因使十户共出一车。计其在道则皆户一日出一车,故可为均平之率也。
        

《九章算术·均输》三国魏·刘徽注

        【评】这是刘徽对均输的解释。刘徽指出,关键是找到均平之率,并进而求出各县的列衰。