刍童
刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。术曰:倍上袤,下袤从之;亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一。其曲池者,并上中、外周而半之,以为上袤;亦并下中、外周而半之,以为下袤。
【评】刍童、盘池、冥谷都是上下底为不相似的长方形的拟柱体,刍童下底大,盘池、冥谷上底大。这里给出了它们的体积公式:V=[(2a 1+a 2)b 1+(2a 2+a 1)b 2]h,其中a 1,b 1,a 2,b 2,h分别是下底长、宽、上底长、宽,高。曲池是上下底为环状的曲面体。设下中外周分别为l 1,l 1′,上中外周分别为l 2,l 2′,则在刍童体积公式中以(l 1+l 1′)代替a 1,以(l 2+l 2′)代替a 2,便是曲池的体积公式。
按:此术假令刍童上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺,其用棋也,中央立方二,四面堑堵六,四角阳马四。倍下袤为八,上袤从之,为十。以高、广乘之,得积三十尺。是为得中央立方各三,两端堑堵各四,两旁堑堵各六,四角阳马亦各六。复倍上袤,下袤从之,为八。以高、广乘之,得积八尺。是为得中央立方亦各三,两端堑堵各二。并两旁,三品棋皆一而为六,故六而一,即得。
为术又可令上下广袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四阳马;上下广袤互相乘,并而半之,以高乘之,即四面六堑堵与二立方,并之,为刍童积。
又可令上下广袤互相乘而半之,上下广袤又各自乘,并,以高乘之,三而一,即得也。
【评】此三段分别为刘徽所记解决刍童体积之棋验法以及刘徽提出的刍童的另外两种形式的体积公式:
与上述公式是等价的。
汉《九章算术·商功》
【评】刍童、盘池、冥谷都是上下底为不相似的长方形的拟柱体,刍童下底大,盘池、冥谷上底大。这里给出了它们的体积公式:V=[(2a 1+a 2)b 1+(2a 2+a 1)b 2]h,其中a 1,b 1,a 2,b 2,h分别是下底长、宽、上底长、宽,高。曲池是上下底为环状的曲面体。设下中外周分别为l 1,l 1′,上中外周分别为l 2,l 2′,则在刍童体积公式中以(l 1+l 1′)代替a 1,以(l 2+l 2′)代替a 2,便是曲池的体积公式。
按:此术假令刍童上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺,其用棋也,中央立方二,四面堑堵六,四角阳马四。倍下袤为八,上袤从之,为十。以高、广乘之,得积三十尺。是为得中央立方各三,两端堑堵各四,两旁堑堵各六,四角阳马亦各六。复倍上袤,下袤从之,为八。以高、广乘之,得积八尺。是为得中央立方亦各三,两端堑堵各二。并两旁,三品棋皆一而为六,故六而一,即得。
为术又可令上下广袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四阳马;上下广袤互相乘,并而半之,以高乘之,即四面六堑堵与二立方,并之,为刍童积。
又可令上下广袤互相乘而半之,上下广袤又各自乘,并,以高乘之,三而一,即得也。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】此三段分别为刘徽所记解决刍童体积之棋验法以及刘徽提出的刍童的另外两种形式的体积公式:
与上述公式是等价的。
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