勾弦差股弦差求勾股弦

        今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、衺〔原本“衺”误作“袤”,李潢校正,此条下同〕各几何?
        术曰:从、横不出相乘,倍而开方除之。所得,加从不出,即户广;加横不出,即户高;两不出加之,得户衺
        

汉《九章算术·勾股》

        【评】这实际上给出了已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦的方法:

        此以户广为勾,户高为股,户衺为弦。凡勾之在股,或矩于表,或方于里 ^①。连之者举表矩而端之。又从勾方里令为青矩之表,未满黄方。满此方则两端之邪重于隅中,各以股弦差为广,勾弦差〔原文讹作“并”,戴震校〕为袤。故两端差相乘,又倍之,则成黄方之幂 ^②。开方除之,得黄方之面。其外之青知,亦以股弦差为广。故以股弦差加,则为勾也。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        〔注〕①这是用图形解释c ²＝a ²+b ²,勾幂与股幂构成弦方,或者勾幂是一正方形,而股幂是一矩(曲尺)形,称为股矩;或者股幂是一正方形,而勾幂是一矩(曲尺)形,称为勾矩。②勾矩与股矩的面积之和亦为弦方,而将它们移到弦方中时,其两端重合于弦方的两隅,面积共为2(c-b)(c-a)而中间的黄方则为空缺。因此黄方的面积为2(c-b)(c-a)。邪,音、义同馀。《左传·文公元年》:“先王之正时也,履端于始,举正于中,归馀于终。”《史记》引作“归邪于终”。
        【评】此为刘徽对《九章算术》持竿出户问方法的证明。刘徽是作为离开了题设的一般勾股问题证明的。
        勾弦较股弦较求勾股法曰:二较相乘,倍之,开平方为弦和较,加股弦较为户广之勾,以弦和较加勾弦较为户长之股。
        

《九章算术·勾股》宋·贾宪细草

        【评】贾宪将《九章算术》借助户高广邪提出的方法抽象成由勾弦较、股弦较求勾、股的一般数学方法。