勾股圆方图

        勾、股各自乘,并之为弦实。开方除之,即弦。按:弦图,又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实 ^①。以差实减弦实,半其馀,以差为从法,开方除之,复得勾矣。加差于勾,即股 ^②。
        凡并勾、股之实即成弦实,或方于内,或矩于外〔原本“矩”“方”互讹,依钱宝琮校〕,形诡而量均,体殊而数齐。勾实之矩以股弦差为广,股弦并为袤 ^③。而股实方其里。减矩勾之实于弦实,开其馀即股 ^④。倍股在两边为从法,开矩勾之角即股弦差。加股为弦 ^⑤。以差除勾实,得股弦并 ^⑥。以并除勾实,亦得股弦差 ^⑦。令并自乘,与勾实为实,倍并为法。所得亦弦 ^⑧。勾实减并自乘,如法为股 ^⑨ 。股实之矩以勾弦差为广,勾弦并为袤 ^⑩。而勾实方其里。减矩股之实于弦实,开其馀即勾 ⁽¹¹⁾。倍勾在两边为从法,开矩股之角即勾弦差。加勾为弦 ⁽¹²⁾。以差除股实,得勾弦并 ⁽¹³⁾。以并除股实,亦得勾股差 ⁽¹⁴⁾。令并自乘,与股实为实。倍并为法,所得亦弦 ⁽¹⁵⁾。股实减并自乘,如法为勾 ⁽¹⁶⁾。两差相乘,倍而开之,所得,以股弦差增之,为勾。以勾弦差增之,为股。两差增之,为弦 ⁽¹⁷⁾。倍弦实列勾股差实,见并〔原本讹作“弦”,钱宝琮校正〕实者,以图考之,倍弦实满外大方而多黄实。黄实之多,即勾股差实。以差实减之,开其馀,得外大方。大方之面.即勾股并也 ⁽¹⁸⁾。令并自乘,倍弦实乃减之,开其馀,得中黄方。黄方之面,即勾股差 ⁽¹⁹⁾。以差减并而半之,为勾,加差于并而半之,为股 ⁽²⁰⁾。其倍弦为广袤合 ⁽²¹⁾,令勾、股见者自乘为其实。四实以减之,开其余,所得为差 ⁽²²⁾。以差减合,半其馀为广 ⁽²³⁾,减广于弦,即所求也 ⁽²⁴⁾。观其迭相规矩,共为返覆,互与通分,各有所得。然则统叙群伦,宏纪众理,贯幽入微,钩深致远。故曰:其裁制万物,唯所为之也。
        

《周髀算经》卷上赵爽注

        〔注〕 ①此是勾股恒等式:c ²＝2ab+(b-a) ²。②此是求勾的开带从平方:a ²+(b-a)a=;以及b=a+(b-a)。③此表示:c ²-b ²＝(c+6) (c-b)。④此表示:⑤此表示以开带从平方求股弦差:(c-6) ²+2b(c-6)=c ²-b ²;以及c=(c-b)+b。⑥此表示:c+b=。⑦此表示:c-b=。⑧此表示:c=。⑨此表示:b=。⑩此表示:c ²-a ²＝(c+a)(c-a)。(11)此表示:(12)此表示以开带从平方求勾弦差:(c-a) ²+2a(c-a)=c ²-a ²;以及c=(c-a)+a。(13)此表示:c+a=。(14)此表示:c-a=。(15)此表示:c=。(16)此表示:a=。(17)此表示:(18)前两句表示:(a+b)2=2c2-(b-a)2。以下为其证明。(19)此表示:b-a=(20)此两句表示:a=[(a+b)-(b-a)],b=[(a+b)+(b-a)]。(21)此表示2c=(c+b)+(c-b)或2c=(c+a)+(c-a)。(22)此差为广袤差:(c+b)-(c-b)=(23)此广指勾实之广:c-b={[(c+b)+(c-b)]-[(c+b)-(c-b)]},及股实之广:c-a={[(c+a)+(c-a)]-[(c+a)-(c-a)]}。(24)此即求出勾a=c-(c-a),股b=c-(c-b)。
        【评】此注文,赵爽称为“勾股圆方图”,图已佚且阙容方、容圆的内容。赵爽用五百馀字概括了勾股定理及勾、股、弦的和差关系,总结了两汉时期人们的勾股知识。前引刘徽诸说,其基本内容与此同,可知为汉魏数学家所共识。