勾股差与弦求勾股

        今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何?
        术曰:令一丈自乘为实。半相多,令自乘,倍之,减实,半其馀。以开方除之,所得,减相多之半,即户广。加相多之半,即户高。
        

汉《九章算术·勾股》

        【评】此实际上是已知弦和勾股差求勾、股的问题:
        令户广为勾,高为股,两隅相去一丈为弦,高多于广六尺八寸为勾股差。按图为位,弦幂适满万寸。倍之,减勾股差幂,开方除之。其所得即高广并数。以差减并而半之,即户广;加相多之数,即户高也。
        今此术先求其半。一丈自乘为朱幂四、黄幂一。半差自乘,又倍之,为黄幂四分之二。减实〔原本“黄”讹作“朱”,脱“四分之二减实”六字,戴震校〕,半其馀,有朱幂二、黄幂四分之一〔原本此四字讹作“四半一丈”,戴震校正〕。其于大方得〔原本讹作“弃”,依钱宝琮校〕四分之一。故开方除之,得高广并数之半〔原本脱“之”字,半”下衍“并数”,依戴震校 减差半,得广;加,得户高。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        【评】刘徽在这里将《九章算术》户高多于广的问题抽象成已知勾股差和弦求勾、股的问题,并将其求法化简为

        同时,用出入相补原理对之作了证明。
        又按:此图幂〔原本“图”讹作“圆”,戴震校〕:勾股相并幂〔原本脱“幂”,依意补〕而加其差幂,亦减弦幂,为积,盖先见其弦,然后知其勾与股。今适等,自乘,亦各为方,〔此下原本有“先见其弦,然而后知其勾与股,适等者,令自乘,亦”凡十九字,乃复衍上文,今删〕合〔原文讹作“令”,依意改〕为弦幂。而差数无者〔此二字原本讹作“复先”,依意改〕,此各自乘之,而与相乘数,各为门实。及股长勾短,同源而分流焉。假令勾、股各五,弦幂五十,开方除之,得七尺,有馀一,不尽。假令弦十,其幂有百,半之为勾、股二幂〔原本讹作“勾股弦三幂”,戴震校删〕,各得五十,当亦不可开。故曰:圆三、径一,方五、斜七,虽不正得尽理,亦可言相近耳。
        其勾股合而自相乘之幂者,令弦〔原本脱“弦”字,戴震补〕自乘,倍之为两弦幂〔原本脱“倍之”、“弦”三字,“两”讹作“四”,依戴震校补〕,以减之,其馀开方除之〔原本“其馀”二字窜入“除之”下,戴震校〕,为勾股差。加于合而半,为股;减差于合而半之,为勾。勾、股、弦即高、广、衺〔原本脱“勾”字,“衺”作“袤”,李潢校补〕。其出此图也,其倍弦为广、袤。(此句亦有误)
        令矩勾 ^①即为幂,得广即勾股差。其矩勾之幂,倍勾〔原本脱此字,依意补〕为从法,开之亦勾股差。以勾股差幂减弦幂〔原本“以”上衍“其馀”二字,脱“差”、“弦幂”三字,依钱宝琮校删〕,半其馀,差为从法,开方除之,即勾也。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        〔注〕①此“矩勾”为b ²- a ²,与赵爽之“矩勾”、刘徽本人之“勾矩”为c ²-b ²均不同。
        【评】以上三段为刘徽进一步讨论有关勾股差的问题。第一段讨论勾股相等时勾、股及其幂的关系;第二段讨论勾股差与勾股合的关系,由勾股恒等式求出a,b;第三段提出勾股差与矩勾的几个关系:b ²-a ²＝(a+b)(b-a),(b-a) ²+(b-a)a=b ²-a ²,及由勾股差求勾:
        a ²+(b-a)a=,后二者实际上是开带从平方求b-a,a。刘徽此注扩充了《九章算术》的内容。原文错讹严重,戴震等学者改易太多,此为重校。
        勾股较与弦求股法曰:弦自乘,半较自乘,倍之,减积,馀,半之,开方,减半较为勾,加较为高 ^①。
        

《九章算术·勾股》宋·贾宪细草
        (见《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》)

        【注】此即公式
        【评】贾宪在《九章算术》有关例题和术文基础上提出了由勾股差与弦求勾、股的抽象公式。