股弦较与勾求股弦

        今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何?
        术曰:半池方自乘,以出水一尺自乘,减之,馀,倍出水除之,即得水深。加出水数,得葭长。
        

汉《九章算术·勾股》

        此以池方半之,得五尺为勾,水深为股,葭长为弦。以勾、弦见股,故令勾自乘,先见矩幂也。出水者,股弦差。减此差幂于矩幂则除之。差为矩幂之广,水深是股。令此幂得出水一尺为长,故为矩而得葭长也。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺。问径几何?
        术曰:半锯道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材径。
        

汉《九章算术·勾股》

        【评】“引葭赴岸”和“勾股锯圆材”是两个重要问题。后来广为流传的印度莲花出水问题与前者同,而后者是刘徽求弓形所在圆圆径的依据。刘徽将它们抽象成由勾及股弦差求股弦的方法,并用出入相补原理证明之。
        股弦较与勾求股〔原本讹作弦〕法曰:勾自乘,以股弦较自乘减之,馀为实。倍股弦较为法。实如法而一,得股长〔此三字,原本误作注〕。 ^①
        《九章算术·勾股》宋·贾宪细草 ^②
        〔注〕①此即已知股弦差c-b与勾a求股b的一般公式b=②即《黄帝九章算经细草》,已佚,今存杨辉《详解九章算法》中。
        术曰:勾自乘为实,如股弦较而已,加较,半之,得弦 ^①。
        

《九章算术·勾股》宋·贾宪细草

        〔注〕①此即公式c=
        【评】《九章算术》只有股弦较与勾求股、弦的例题,如引葭赴岸、系索、倚木于垣、锯材、开门去阃等问;刘徽虽对其解法作了普适性证明,亦未概括出普适性术文。贾宪则提出了离开题设对象的抽象性术文,是理论上的进步。