正负术

        正负术曰(刘徽注:……方程自有赤、黑相取,法、实数相推求之术,而其并、减之势不得广通,故使赤、黑相消夺之。于算或减或益,同行异位殊为二品,各有并、减之差见于下焉。著此二条,特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程,减、益虽殊足以通左右之数,差、实虽分足以应同异之率。然则其正无入[原本作“无人”,依杨辉校,下同。]以负之,负无入正之[原本脱此五字,戴震校补],其率不妄也。):同名相除,(刘徽注:此谓以赤除赤,以黑除黑。行求相减者,为去[原本讹作“法”,李潢校正。]头位也。然则头位同名者当用此条,头位异名者当用下条。)异名相益,(刘徽注:益行减行,当各以其类矣。其异名者,非其类也。非其类者,犹无对也,非所得减也。故赤用黑对则除黑,无对则除赤[此有误,钱宝琮认为当作“赤用黑对则馀黑,黑用赤对则馀赤。]赤、黑并于本数。此为相益之,皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。术本取要,必除行首。至于他位,不嫌多少,故或令相减,或令相并,理无同异而一也。)正无入负之,负无入正之。(刘徽注:无入,为无对也。无所得减,则使消夺者居位也。其当以列实或减下实,而行中正、负杂者,亦用此条。此条者,同名减实,异名益实。正无入负之,负无入正之也。)其异名相除,同名相益。正无入正之,负无入负之。(刘徽注:此条异名相除为例,故亦与上条互取。凡正负所以记其同异,使二品互相取而已矣。言负者未必负于少,言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名。此条之实兼通矣,遂以二条反覆一率。观其每与上下互相取位,则随算而言耳,犹一术也。又,本设诸行,欲因成数以相去耳,故其多少无限,令上下相命而已。若以正负相减,如数有旧增法者,每行可均之,不但数无左右之也。)
        

汉《九章算术·方程》

        【评】我们在“四则运算”类中已提及正负术。正负术最先是为方程消元法提出的,并且在十二世纪之前只用于方程术。刘徽详细论述了正负数在方程术中的应用,指出,为了消元方便,各行负号的取舍是相对的。