方程术

        今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?
        方程[原本无此二字,戴震补](刘徽注:程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程 ^①。行之左右无所同存,且为有所据而言耳。此都术也,以空言难晓,故特系之禾以决之。又列中、左[原本脱“左”字,钱宝琮补]、行如右行也。)术曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,于右行。中、左禾列如右方 ^②。以右行上禾偏乘中行而以直除 ^③。(刘徽注:为术之意,令少行减多行,反覆相减,则头位必先尽。上无一位,则此行亦阙一物矣。然而举率以相减,不害馀数之课也。若消去头位,则下去一物之实。如是叠令左右行相减,审其正负,则可得而知。先令右行上禾乘中行,为齐同 ^④之意。为齐同者,谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同,以齐同之意观之,其义然矣。)又乘其次,亦以直除。(刘徽注:复去左行首。)然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。(刘徽注:亦令两行相去行之中禾也。)左方下[原本讹作“上”,戴震校]禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。(刘徽注:上、中禾皆去,故馀数是下禾实,非但一秉。欲约众秉之实,当以禾秉数为法。列此,以下禾之秉数[原本讹作“实”,钱宝琮校]乘两行,以直除,则下禾之位皆决矣。各以其馀一位之秉除其下实。即计数矣,用算繁而不省。所以别为法,约也。然犹不如自用其旧,广异法也。)求中禾,以法乘中禾下实而除下禾之实。(刘徽注:此谓中两禾实,下禾一秉实数先见,将中秉求中禾,其列实以减下实。而左方下禾虽去一秉,以法为母,于率不通。故先以法乘,其通而同之。俱令法为母,而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数,即得下禾一位之列实。减[原本脱“减”字,戴震补。]于下实,则其数是中禾之实也。)馀,如中禾秉数而一,即中禾之实。(刘徽注:馀,中禾一位之实也。故以一位秉数约之,乃得一秉之实也。)求上禾,亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。(刘徽注:此右行三禾共实,合[原本讹作“令”,戴震校正]三位之实,故以二位秉数约之,乃得上禾[原本“二”讹作“一”,脱“上禾”二字,戴震校补。]一秉之实。此右行三禾共实,今中、下禾之实。其数并见,令乘(原本“今”讹作“合”,脱“令乘”二字,钱宝琮校补。]右行之禾秉以减之,故亦如前,各求列实,以减下实也。)馀,如上禾秉数而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。(刘徽注:三实同用。不满法者,以法命之。母、实皆当约[原本讹作“除”,钱宝琮校正]之。)
        

汉《九章算术·方程》

        [注]①方程即今线性方程组,与今方程含义不同。现今解方程,古称开方术。②此即相当于现今线性方程相当于现今线性方程组③方程两行对应项同时对减,称作直除。除,减也。④此为刘徽将齐同原理推广到方程术。以方程中甲行某项系数(比如左行首项3)乘乙行(比如中行)所有项,便是齐,即使乙行中其馀各项与首项相齐。然后用甲行对减乙行,直至乙行首项为0(此处减2次),作到两项首项同。用李淳风的话说,即是“同其首项,齐其诸下”。
        【评】此为《九章算术》所提出的方程术及其刘徽注。《九章算术》的直除消元法与现今线性方程组解法异曲同工,其位置值和分离系数表示法与今矩阵表示法相类,是《九章算术》最杰出的成就。刘徽指出它是普遍方法。刘徽提出了方程的定义,以及“举率以相减,不害馀数之课”(即两行相减,不影响方程的解)的原理作为消元法的理论基础,与现代线性代数理论一致。