勾股容圆

        今有勾八步,股一十五步。问勾中容圆径几何?
        术曰:八步为勾,十五步为股,为之求弦。三位并之为法。以勾乘股,倍之为实。实如法得径一步。
        

汉《九章算术·勾股》

        【评】此为勾股形的内切圆圆径公式d=。勾股容圆问题在宋、元时发展为数学的一个重要分支,此为其滥觞。宋贾宪将其称为“勾股求弦和较法”,盖勾股所容圆之径即为弦和较(a+b) - c。
        勾、股相乘为图本体,朱、青、黄幂各二 ^①,倍之,则为各四[原本“图”讹作“圆”,脱“倍”字,“则”下衍“田”字,参照戴震、钱宝琮校正]。可用画于小纸,分裁邪正之会,令颠倒相补,各以类合,成修幂:圆径为广,并勾、股、弦为袤②。故并勾、股、弦以为法。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        [注]①从勾股形的内切圆圆心向三边引垂线,勾股形分成三
        部分,其正方形(边长为圆半径)为黄幂,其馀两部分分别为朱幂、青幂。则二个勾股形(即勾股相乘)有朱、青、黄幂各二。②此是说将四个勾股形重新组合成以圆径为广,以并勾、股、弦为从的长疗形,其面积为2ab。
        【评】此为刘徽所记用出入相补原理对勾股形内切圆圆径公式的证明。
        又以圆大体言之,股中青必令立规于横广,勾、股又邪三径均,而复连规,从横量度勾股,必合而成小方矣。又画中弦 ^①以观其[原本作“规除”,依戴震校改]会,则勾、股之面中央各有[原本脱“各有”二字,依钱宝琮补]小勾股弦。勾之小股、股之[原本讹作“面面”,依意校正]小勾皆小方之面,皆圆径之半。其数故可衰。以勾、股、弦为列衰,副并为法。以勾[原本“勾”上衍“小”字,李潢删]乘未并者,各自为实。实如法而一,得勾面之小股,可知也。以股乘列衰为实,则得股面之小勾可知。言虽异矣,及其所以成法实[“实”上原本有“之”字,李潢删],则同归矣。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        [注]①中弦是过内切圆圆心平行于弦的线段。
        【评】刘徽在此用衰分术证明《九章算术》的勾股容圆径公式。
        则圆径又可以表(原本“表”讹作“勾乘”,今校正)之差并:勾弦差减股为圆径 ^①;又,弦减勾股并,馀为圆径 ^②;以勾弦差乘股弦差而倍之,开方除之,亦圆径也 ^③。
        

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

        [注]①此即d=b-(c-a)。②d=(a+b)-c。
        【评】这是刘徽提出的另外几个勾股容圆圆径公式。
        问有圆城不知周径,四门中开。北外三里有乔木。出南门便折东行九里乃见木。欲知城周径各几何?
        术曰:以勾股差率求之 ^①。一为从隅,伍因北外里,为从七廉。置北里幂,八因,为从五廉。以北里幂为正率,以东行幂为负率,二率差,四因,乘北里为益从三廉。倍负率,乘五廉,为益上廉。以北里乘上廉,为实,开玲珑九乘方 ^②。得数,自乘为径。以三因径,得周。
        

宋·秦九韶《数书九章·测望类》

        [注]①此为提示列方程的主要方法。勾股差率即以已知勾股差与弦之率所形成的勾、股、弦三率,源于《九章算术》已知勾股差与弦求勾股的“户高多于广”问。设弦率为p,勾股差率为q,则勾、股、弦三率为:
        是为勾股数通式的另一种形式。②此谓求十次方程。x ¹⁰+5kx ⁸+8k ²x ⁶-4(l ²-k ²)kx ⁴-16l ²k ²x ²-16l ²k ³＝ 0的正根,其中北外为k,东行为l,x ²为城径。秦九韶将无未知
        数的奇次幂的开方称作开玲珑某乘方。
        【评】此相当于洞渊九容中股上容圆问题,又是需用到勾股差率和开高次方的测望问题。同类问题,李冶用三次方程解决,秦氏所以列出十次方程者,盖欲显示可解高次方程。
        凡大小差相乘为半段径幂 ^①;大差勾小差股相乘亦同上。虚勾乘大股得半段径幂;虚股乘大勾亦同上。边股叀股相乘得半径幂;明勾底勾相乘亦同上。黄广股黄长勾相乘为径幂。高股平勾相乘得半径幂。明弦明股并,与叀弦叀勾并相乘得半径幂;明弦明勾并,与叀弦叀股并相乘,亦同上。
        

元·李冶《测圆海镜》卷一

        [注]①大差即勾弦差,小差即股弦差,此句即=(c-a)(c-b)。以下九句也都是用各勾股形中诸线段之积表示直径或半径,不再注。
        【评】此是《测圆海镜》卷一“识别杂记·诸杂名目”中的十个用诸勾股形线段之积表示圆径的基本公式。“识别杂记”含有692条,除8条外,都是正确的几何公式,反映了宋元时代中国学者丰富的几何知识。“识别杂记”是全书的理论基础,对李冶将已知数和未知数联系起来,建立天元式,非常重要。而“诸杂名目”包括若干定义和定理,又是“识别杂记”的理论基础,因而是全书的纲纪。
        假令有圆城一所,不知周径。四面开门,门外从横各有十字大道。其西北十字道头,定为乾地,其东北十字道头,定为艮地,其东南十字道头,定为巽地,其西南十字道头,定为坤地。所有测望杂法,一一设问如后。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        【评】此为《测圆海镜》170问的总题设:正方形乾坤巽艮容一圆,圆与十五个勾股形的各种关系,由此展开。此处,李冶创造了用汉字表示几何图形的点的方法,与西方用字母表示点,异曲同工,是个大进步。
        法曰:此为勾上容圆①也。以勾股相乘,倍之为实。并勾、股幂以求弦,加入股,以为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①勾上容圆即圆心在勾上且切于弦和股。其直径d=。
        法曰:此为股上容圆 ^①也。以勾股相乘,倍之为实。以勾、股幂求弦,加入勾,以为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①股上容圆即圆心在股上且切于弦和勾。其直径d=。
        法曰:此为勾股上容圆①也。以勾股相乘,倍之为实,并勾、股幂,如法求弦,以为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①勾股上容圆即圆心在勾、股交点且切于弦。其直径d=
        法曰:此为弦上容圆 ^①也。以勾股相乘,倍之为实,以勾股和为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①弦上容圆即圆心在弦上且切于勾、股。其直径d=
        法曰:此为勾外容圆 ^①也。以勾股相乘,倍之为实,以弦较共为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①勾外容圆即切于勾及股、弦的延长线者,其直径d=
        法曰:此为股外容圆 ^①也。以勾股相乘,倍之为实,以弦较较为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①股外容圆即切于股及勾、弦的延长线者。其直径d=
        法曰:此为弦外容圆 ^①也。勾股相乘,倍之为实,以弦和较为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①弦外容圆即切于弦及勾、股的延长线者。其直径d=
        法曰:此外勾外容圆半 ^①也。以勾股相乘,倍之为实,以大差为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①勾外容圆半即圆心在股的延长线上且切于勾、弦的延长线。大差即勾弦差。其直径d=
        法曰:此为股外容圆半 ^①也。以勾股相乘,倍之为实,以小差为法。
        

元·李冶《测圆海镜》卷二

        [注]①股外容圆半即圆心在勾的延长线上且切于股、弦的延长线。小差即股弦差。其直径
        【评】以上九个公式及李冶列在此九个公式前面的《九章算术》勾股容圆公式,是《测圆海镜》的十种基本容圆公式。李冶说,他的《测圆海镜》是在洞渊九容的基础上演绎而来的,清末李善兰认为,洞渊九容之术即以上九个公式,也有人认为九容包括勾股容圆而无弦上容圆。