天元术

        予至东平 ^①,得一算经,大概多明如积之术。以十九字识其上、下层数。曰:仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极,而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅,而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式,皆以天元在上,乘则升之,除则降之,独太原彭泽彦材法,立天元在下 ^②。凡今之印本复轨等书,俱下置天元者,悉踵习彦材法耳。彦材在数学中,亦入域之贤也,而立法与古相反者,其意以为天本在上,动则不可复上,而必置于下,动则徐上,亦犹易卦,乾在坤下,坤在乾上,二气相交而为太也,故以乘则降之,除则升之。求地元则反是。
        

元·李冶《敬斋古今黈》卷三

        [注]①东平,今山东省,李冶父李遹于1213年任东平府治中,李冶得算经,当在此时。②天元即未知数。天元术即今设未知数列方程的方法。天元式古法表示为:

其c为常数项,李冶称为太或太极。而a ₁……a _n分别为x,……x _n的系数,b ₁……b _n分别为x ^-1……x ^-n的系数。其表示法仍为分离系数的位置值表示。
        【评】有关天元术的早期著作全部亡佚。李冶这段记载是天元术表示法早期发展的宝贵资料。李冶本人处于古法变今法的过程中,他的《测圆海镜》用古法,《益古演段》则用今法。
        《黄帝九章》以降,算经多矣,不可枚举。唐、宋设明算科,立法取士,不出《九章》、《周髀》、《海岛》、《孙子》、《张丘建》、《夏侯阳》、《五曹》、《五经算》、《缉古》、《缀术》数家而已。然天、地、人、物四元罔有云及一者。厥后平阳 ^①蒋周撰《益古》,博陆 ^②李文一撰《照胆》,鹿泉 ^③石信道撰《钤经》,平水 ^④刘汝谐撰《如积释锁》,绛人 ^⑤元裕细草之,后人始知有天元也。
        

《四元玉鉴》元·祖颐后序

        [注]①平阳,今山西省临汾县。②博陆,今河北省蠡县。③鹿泉,今河北省获鹿县。④平水,即平阳。⑤绛,今山西省绛县。
        【评】这是元人关于天元术早期发展的又一不可多得的资料。值得注意的是,这些著作,除《益古》、《钤经》外,李冶没有提到过,可见,天元术在金、元时代是广泛流传的方法。据信,《益古》等著作未使用天元术,而石信道《钤经》可能是天元术的先驱。
        [假令有圆城一所,不知周径,四面开门,]或问丙出南门直行一百三十五步而立,甲出东门直行一十六步见之,[问径几里?] ^①
        又法:二行相乘,得数,又自之,为三乘方实;并二行步,以乘二行相乘数,又倍之,为从;二行相并数,以自乘,于上,又二行相减数,自乘,减上位,为第一廉;第二廉空;一益隅,益积开方,得半径。(原注:其第一廉,只是四段二行相乘数。) ^②
        草曰:立天元一为半城径,副置之,上加南行步,得,为股;下位加东行步,得元,为勾 ^③。勾、股相乘,得,为直积一段,以天元除之,得,为弦。以自之,得 ,为弦幂 ^④。寄左。乃以勾自之,得。又以股自之,得,二位相并,得,为同数 ^⑤。与左相消,得益积开三乘方 ^⑥,得一百二十步,即半城径也。
        

元·李冶《测圆海镜》卷七

        [注]①《测圆海镜》自卷二起,题目都假设“假令有圆城一所,
        不知周径,四面开门”,今补足。自卷二第二题起,问答语均为
        “问答同前”,今以第一问“问径几里”易之,以便读者。②设
        东出门为a ₁,南出门为b ₁,此表示四次方程:-x ⁴+[(a ₁+b ₁) ²-(b ₁-a ₁) ²]x ²+2(a ₁+b ₁)a ₁b ₁x+(a ₁b ₁) ²＝0。③《测圆海镜》以古法表示,即未知数的高次幂在上。此句意为设x为圆半径,则x+135为股,x+16为勾,即a=x+a ₁,b=x+b ₁。原文为筹式,今改阿拉伯数字。下同。④此由勾股形面积,ab=cx,故＝x ²+302x+27121+652320x ^-1+4665600x ^-2。。⑤又,c ²＝a ²+b ²＝ (x ₁+a ₁) ²+ (x+b ₁) ²＝2x ² + 302x+ 18481。⑥此谓[(x+a ₁) ²+(x+b ₁) ²]=0,即-x ²+8640+652320 ^x-1+4665600 ^x-2＝0,亦即-x ⁴+8640x ²+652320x+4665600=0。
        【评】天元术是李冶解决《测圆海镜》的问题的主要工具。天元术产生前,列出开方式是非常复杂的思维过程,列三次以上开方式更为复杂,天元术的诞生,使之十分简明。其基本思路是,根据题设条件,立天元一为某某,列出两个同值天元式,即今之谓多项式,两者相消,便成为一个开方式。这实际上是一种半符号代数学。由例可以看出,人们已经熟练地掌握了多项式的加、减、乘、除(只限于单项式作除式)运算。
        一气混元,今有黄方乘直积得二十四步。只云股弦和九步,问勾几何?
        草曰:立天元一为勾,如积求之,得一百六十二个黄方

        (士琳按:四象细草假令之图,所以发挥四元而作也,特草中仅列诸式,其何以如积求之之故,缺而未明,兹逐细详演于后,别之曰补草。
        罗士琳补草曰:立天元一,为勾,自之,得,为勾幂,合以股弦和九步除之,为股弦较。今不除,便以为九个股弦较 ^①。副以九通天元,得,为九个勾 ^②。以九个股弦较减之,得,为九个黄方 ^③。以九通九步得八十一步,为九个股弦和 ^④,以九个股弦较减之,得为十八个股 ^⑤,乘天元勾,得为十八个直积 ^⑥。以九个黄方乘之,得为一百六十二个黄方乘直积 ^⑦,寄左。乃以一百六十二通二十四步,得三千八百八十八步,为同数 ^⑧,与左相消,得,开四乘方 ^⑨,得三步,合问。)
        

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

        [注]①此源于a ²＝(c+b)(c-b),因c+b=9故a ²＝9(c-b)。②同样(c+b)a=9a。③(c+b)a-(c+b)(c-b)=(c+b)(a+b-c),c+b=9,a+b-c为黄方之面,故(9a-a ²)为9个黄方。④同样(c+b) ²＝9(c+b)为81。⑤此谓(c+b) ²-(c+b)(c+b)=2(c-b)·b,故81-a2为18个股。⑥ab为直积,2(c+b)·ba=81a-a ³为18个直积。⑦此谓2(c+b)ab×(c+b)(a+b-c)=2(c+b) ²ab(a+b-c) =729a ²-81a ³-9a ⁴+a ⁵为162个黄方乘直积。⑧由题设黄方乘直积为24步,162个黄方乘直积为3888步为同数。⑨如积相消得开方式为a ⁵-9a ⁴-81a ³+729a ²-3888=0,求a。
        【评】此为朱世杰《四元玉鉴》关于一元高次开方式的例题。采用天元的高次幂在下的记法,李冶在《益古演段》中即采用这种记法。
        尝读《授时历草》求弦矢之法,先立天元一为矢。而元学士李冶所著《测圆海镜》亦用天元一立算。传写鲁鱼,算式讹舛,殊不易读。前明唐荆川、顾箬溪 ^①两公互相推重,自谓得此中三昧。荆川之说曰:艺士著书,往往以秘其机为奇。所谓立天元一云尔,如积求之云尔,漫不省其为何语。而箬溪则言:细考《测圆海镜》,如求城径即以二百四十为天元,半径即以一百二十为天元,既知其数,何用算为,似不必立可也。二公之言如此。余于顾说颇不谓然,而无以解也。后供奉内廷,蒙圣祖仁皇帝 ^②授以借根方法,且谕曰:“西洋人名此书为阿尔热八达,译言东来法 ^③也。”敬受而读之,其法神妙,诚算法之指南。而窃疑天元一之术,颇与相似。复取《授时历草》观之,乃涣如冰释,殆名异而实同,非徒曰似之已也。夫元时学士著书,台官治历,莫非此物。不知何故遂失其传。犹幸远人慕化,复得故物,东来之名,彼尚不能忘所自,而明人独视为赘疣而欲弃之。噫!好学深思如唐、顾二公,犹不能知其意,而浅见寡闻者,又何足道哉,何足道哉!
        

清·梅瑴成《赤水遗珍·天元一即借根方解》(见《梅氏丛书辑要》)

        [注]①即唐顺之、顾应祥。②即清康熙皇帝,爱新觉罗·玄烨。③即Algebra的音译,代数学。
        【评】梅瑴成批评顾应祥等人不懂天元术反而对李冶妄加指责,指出天元术与西方之借根方法实质相同,都是十分正确的。而奉阿尔热巴达系东来法为圣旨,致使谬种流传,反映了封建士大夫阶层一部分人中国中心论的心态。
        天元一之名,不著于古籍。金元之间,李仁卿 ^①学士作《测圆海镜》、《益古演段》两书,以畅发其旨趣。宋末秦道古《数学九章》 ^②,亦有立天元一法,而术与李异。盖各有所授也。元世祖并宋之后,郭邢台 ^③用李氏之法,造授时术,其学颇显著于世。明顾箬溪不知所谓,毅然删去细草。终明之世,此学遂微。
        

清·焦循《天元一释》上(清嘉庆版《里堂学算记》)

        [注]①即李冶,仁卿,其字。②即秦九韶《数书九章》。道古,九韶之字。③郭邢台即郭守敬,邢台,其籍贯。
        【评】焦循简要概括了天元术的兴衰,并指出秦九韶之“立天元一”不是天元术。
        且算术大至躔离交食,细至米盐琐屑,法甚繁已。以立天元一演之,莫不能其法。故立天元一者,算学中之一贯也。
        

清·李善兰《测圆海镜序》

        【评】李善兰高度评价了天元术的作用。