对数函数展开式

        凡诸对数皆定于十之对数,而十生于单一下五、六空位零一之对数。今欲以十之对数求单一下五、六空位零一之对数,势不得不屡次开方,若借一算为单一下五、六空位零一对数,转求十之借数,即可得其比例之率。
        

清·戴煦《求表捷法·对数简术序》(《粤雅堂丛书三编》)

        【评】对数在西方发现后不久,即传入中国,《数理精蕴》下编卷三十八有“递次开方法”造表法。戴煦创造了许多新的造表法。此为用换底公式,即lg ^(1+x)＝。
        论对数根 ^① 对数根者,诸对数之所生,即单一下无数空位零一之对数也。……今有本数,即可求折小各率,则是第五十四次开方数可以径求矣。既可径求,则求第一兆八千馀万亿率,不如求第一无量数率。(原注:一无量数,犹云一千或一万。)何也?盖一兆八千馀万亿率为第五十四次开方数之率分,其位数甚多。用连比例求得率数 ^②,亦有多位,(原注:即第五十四次开方数之对数。)而布算甚繁。一无量数虽极大而仍为一,不过一下有无数空位耳。以为首率,用连比例求末率,必为单位下无数空位零一。此即求对数根四率之二率数,既为一,可省多位乘法一次,且一无量数较一兆有零,为尤密也。
        今定一○之对数为单一求对数根 法先以一○开平方五次,(原注:或开平方三次,三乘方一次,或开方一次,三乘方二次皆可,但取其降位易而已。)得折小第三十二率一○七四六○七八二八三二一三一七四九七为对数根之用数。(原注:用数见后,第三十二率以前各率为用数,则降位稍难。若第三十二率以后,皆可为用数,不必定用三十二率也。)置用数,减去首位单一,以除用数,得一四四○三四一九二一八八六八六五三九,为递次除法。(原注:用数为通用除法,用数减首位为通用乘法。此即前所云以乘法除除法为递次除法,则一次除可代一乘一除也。)乃以除法除单一,以折小率三十二乘之,得二二二一六九四六九○二四九六三二六六为第一数正。除法除第一数,一乘之,二除之,得七七一二三八六四○一○六七八三○为第二数正。除法除第二数,二乘之,三除之,得三五六九七○一六四九二五一二三为第三数正。除法除第三数,三乘之,四除之,得一八五八七七八二四九九八○五,为第四数正。
        除法除第四数,四乘之,五除之,得一○三二四○九四四二○八三,为第五数正。如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正。三五五四六一六三一三为第七数正。二一五九四一○四六为第八数正。一三三二六五三○为第九数正。八三二七一○为第十数正。五二五五七为第十一数正。三三四五为第十二数正。二一四为第十三数正。一四为第十四数正。一为第十五数正 ^③。乃并诸正数得二三○二五八五○九二九九四○四五七七为首率,单一为中率,求得末率○四三四二九四四八一九○三二五一八一一即对数根也。
        按:此即以一○为本数第一率,依第一术求折小第一无量数率也。其第一数本为单一。(原注:凡求极多率者,初商恒为单一。)以对数例以单一下之零数为比例而截去首位,故置第一数不用,而竟以第二数为第一数也。其以三十二乘之者,缘用数系本数之折小第三十二率,当于求得数后,以三十二乘之,为所求数。而以三十二乘第一数,其得数亦同也。所异者,求法既依第一术,则第二数应以一无量数加一乘之,二无量数除之,而何以用一乘二除?不知求极多率者,无加一之差也 ^④。今试以九乘方言之,其率分为十,其乘法十一与除法二十之比,较一与二之比,所差尚大。若两位九乘方,(原注:谓九十九乘方。)其率分为百,而一百零一与二百之比,较一与二之比,所差较微。若三位九乘方,(原注:谓九百九十九乘方。)其率分为千,而一千零一与二千之比较较一与二之比,其差更微。由是,推之多位九乘方,则其差必极微而可以不计矣。且非特不计已也。譬之割圆,有大弧弦求析分小弧弦,每数乘法有分子幂之减差,析之愈小,减差愈微,若求弧线,则有分母无分子,并此减差而无之。盖稍有减差,则线亦稍有觚棱,而非真弧线矣。求对数根亦然,必须开无穷无尽极多位九乘方,并此加差而无之,然后求至数百千位而无不合。若稍有加差,则滞于第几率,而求至多位,反不合矣。即如开平方五十四次,而所求之对数根不过十五六位。若欲增求一位,必须再开三四次,不能如前法之求几位即得几位者,以其滞于一兆八千馀万亿率也。然则一乘二除,二乘三除,正开无穷无尽极多位九乘方之法,无以名之,姑名为折小第一无量数率耳。
        

清·戴煦《求表捷术·续对数简法》(《粤雅堂丛书三编》)

        [注]①对数根即今模数。②率分即今根指数,率数即今幂指数。③此即公式④此即极限。此段用极限思想证明③中公式的正确性:。
        【评】此是戴煦独立创造的用展开式求对数根的方法。
        论借数 借数者,自二至九共八数,借为累乘之数也。凡诸数择八数内之数乘之,皆可得首位为一,而下有空位,故借数不必广求,即八数而已足。但由用数求得之之对数,必以乘法之对数减之,则必先求借数之对数。而借数虽有八数,实止三数。何也?二、五、四、八本通为一数,三、六、九亦通为一数,惟七则自为一数。故有三数之对数而八数之对数已备。有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣。
        假如有对数根,求二、与四、与五、与八之对数。法依前,求得二之用数一○二四,减去单一,得○○二四,为递次乘法。乃以乘法乘对数根,得○○一○四二三○六七五六五六七八○四三,(原注:凡乘法在单位下,则乘得数小于原数。)为第一数正。乘法乘第一数,一乘之,二除之,得一二五○七六八一○七八八一三七为第二数负。乘法乘第二数,二乘之,三除之,得二○○一二二八九七二六一○,为第三数正。乘法乘第三数,三乘之,四除之,得三六○二二一二一五○七,为第四数负。如是递求,得六九一六二四七三三为第五数正。一三八三二四九五为第六数负。二八四五五四为第七数正。五九七六为第八数负。一二七为第九数正。三为第十数负。乃并诸正数得○○一○四二五○六九四八六五六○○六七,又并诸负数得○○○○一二五一一二八四六七四八一一八,以负减正,得○○一○二九九九五六六三九八一一九四九,为用数之对数 ^①。以用数系降三位,乃于首位加三,得三○一○二九九九五六六三九八一一九四九,为一千零二十四之对数,以一千零二十四系二之倍大第十率,乃以十除之,得○三○一○二九九九五六六三九八一一九(小馀四九),为二之对数也。
        求四之对数者,以四即二之倍大第二率,乃以二之对数二乘之,得○六○二○五九九九一三二七九六二三八九八,即四之对数。
        求五之对数者,以二与五相乘,即十,乃以十之对数单一内减二之对数,得○六九八九七○○○四三三六○一八八○五一,即五之对数。
        求八之对数者,以八即二之倍大第三率,乃以二之对数三乘之,得○九○三○八九九八六九九一九四三五八四七,即为八对数。
        

清·戴煦《求表捷法·续对数简法》(《粤雅堂丛书三编》)

        [注]①此表示对数函数的幂级数展开式log(1+α)=。它实际上由求出的。
        【评】戴煦独立完成的对数函数的幂级数展开式与麦卡托于 1667年得到的展开式暗合。戴煦由此提出了求对数捷法。