定积分

        第一,当知西人所谓点、线、面皆不能无体。……
        第二,当知体可变为面,面可变为线。……
        第三,当知诸乘方有线、面、体循环之理。一乘方为面(即平方),二乘方为体(即立方);三乘方为线(线即中法立天元之元,西法借根方之方也),四乘方复为面,五乘方复为体;六乘方复为线,推之至于无穷,其为线、面、体三者循环无已。……
        第四,当知诸乘方皆可变为面,并皆可变为线 ^①。观第二条其理自明。
        第五,当知平、立尖锥之形。……
        第六,当知诸乘方皆有尖锥。三乘以上尖锥之底皆方,唯上四面不作平体而成凹形。乘愈多则凹愈甚。……
        第七,当知诸尖锥有积叠之理。元数(即立天元之元)起于丝发而递增之,而叠之则成平尖锥;一定之元数叠之则成平方,上少下多之元数叠之则成平尖锥(第一层一,第二层二,第三层三)。平方数起于丝发而渐增之而叠之,则成立尖锥;一定之平方叠之则成立方,上少下多之平方叠之则成立尖锥(第一层一,第二层四,第三层九)。立方数起于丝发而渐增之变为面(体可变面,说见前),而叠之则成三乘尖锥(第一层一,第二层八,第三层二十九)。三乘方数起于丝发而渐增之变为面,而叠之则成四乘尖锥(第一层一,第二层十六,第三层八十一)。从此递推可至无穷,然则多一乘之尖锥皆少一乘方,渐增渐叠而成也 ^②。
        第八,当知诸尖锥之算法。以高乘底为实,本乘方数加一为法,除之得尖锥积 ^③。……
        第九,当知二乘以上尖锥,其所叠之面皆可变为线 ^④。面变为线,则诸尖锥皆成平体而曲其边。正则曲二边,偏则曲一边。乘益多则曲益甚。
        第十,当知诸尖锥既为平面则可并为一尖锥。诸尖锥既为平面,则无棱角,故可并。法:先立一尖锥,次以一尖锥凸其一面,如先立尖锥之曲线,则两尖锥便可合而为一矣。诸尖锥皆以此法并之 ^⑤。……
        

清·李善兰《方圆阐幽》(见《则古昔斋算学》)

        [注]①此谓若x为正数,n为正整数,则x ⁿ可用一个平面积表示,亦可用一条直线段表示。②此谓:若0≤x≤h,则表示x ⁿ的平面积积叠成一尖锥体。③此谓:由平面积ax ⁿ积叠而成的尖锥体,高为h,底面积为ah ⁿ,则其体积为。它相当于定积分。④此谓ax ⁿ可以用一条直线段表定积分。
        【评】以上十条命题是李善兰尖锥术的基本理论,其中有的命题含有定积分思想,虽未十分严谨,在西方产生并发展起来的微积分学传入中国之前,这是难能可贵的。
        方内函圆,方圆之较即诸乘方之合尖锥也 ^①。起再乘,次四乘,次六,次八,次十,至于无穷,其数有隅而无奇,一阴一阳之道也。再乘尖锥之底,二分半径之一也;以其馀四分之,为四乘尖锥之底;又以其馀六分之,为六乘尖锥之底;其尖锥若干乘,则底亦若干分之一焉;如是至于无尽,生生不穷之道也 ^②。[此下图解,略]既得诸尖锥之底,依前第八条法,以求其积 ^③。既得诸积,四因之,以减外大方积,便见大圆真积也 ^④。
        

清·李善兰《方圆阐幽》(《则古昔斋算学》)

        [注]①此为通过求出圆与其外切正方形之间的面积解决圆面积问题。先考虑其四分之一,是为诸乘方之合尖锥。②诸锥底分别为,……,其中r是圆半径。③依上第八条,诸尖锥积为④圆面积4r ²-4……)若令r=1,便为
        【评】此为将尖锥术用于圆面积,得到圆面积的级数展开式。此外,李善兰还将尖锥求积术用于求对数函数的幂级数展开(见《对数探源》)。