分数四则

        物之数量,不可悉全,必以分言之。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        法实 ^①相推,动有参差,故为术者先治诸分。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        [注]①法,标准也。除法运算系以某数为标准分割另一数,故
        引伸之,除数称为法,被除数称为实。法、实等术语又用于开方等运算中,意义相同。
        【评】分数及其运算已屡见于先秦典籍。刘徽的话说明了分数的产生及分数运算在各种数学方法中的意义。
        约分术曰:可半者半之;不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
        

汉《九章算术·方田》

        【评】约分术即约简分数的方法;等数即最大公约数。求等数的更相减损法与欧几里得辗转相除法相当。
        分之为数,繁则难用。设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也。虽则异辞,至于为数,亦同归尔。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        【评】刘徽注说明了约分的意义,指出约分并不改变分数值。
        等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        【评】刘注说明为什么可以用等数化简分数而不改变分数值。
        合分术曰:母互乘子,并以为实,母相乘为法,实如法而一 ^①。不满法者,以法命之 ^②。
        

汉《九章算术·方田》

        [注]①这是中国古代数学的惯用术语,源于进行除法运算时实中有与法相等的部分便商 一 。一般说来,在阐述抽象法则时用“实如法而一”,在具体应用时常称“实如法得一钱”(或斤、尺、斗、……)。②“以法命之”是产生分数的方法,此处即以“不满法者”为分子,以法为分母。
        【评】这是分数加法法则。其公分母不一定是最小公倍数。
        母互乘子;约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊,然其实一也。众分错杂[宋本作“难”,依聚珍版改],非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        【评】此段刘注在于说明合分术的正确性:只有通分,化成同一分数单位,才可以相加。
        减分术曰:母互乘子,以少减多,馀为实,母相乘为法,实如法而一。
        

汉《九章算术·方田》

        【评】减分即分数减分。《九章算术》又有“课分”,与减分大同小异,不再列出。
        平分术曰:母互乘子,副并为平实。母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。以平实减列实,馀,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。
        

汉《九章算术·方田》

        【评】这是求几个分数平均值的方法。方法是对的,程序上有点弯路。
        乘分术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。
        

汉《九章算术·方田》

        【评】这是分数乘法法则,与今一致。
        经分术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之,重有分者同而通之。
        

汉《九章算术·方田》

        【评】这是分数除法法则,没有采取分子分母颠倒相乘,程序上有点繁琐。分数除法在《九章算术》卷二又称“经率术”,后来称作“除分”。
        又以法分母乘实,实分母乘法。
        

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

        【评】这是刘徽对经分术的部分注文,提出了分子分母颠倒相乘的方法,与今一致。