运算定律

        然名起于立法之后,理存于立法之先。理者何?加、减、乘、除四者之错综变化也。而四者之杂于《九章》,则不啻六书之声杂于各部。……盖《九章》不能尽加、减、乘、除之用,而加、减、乘、除可以通《九章》之穷。《孙子》、《张邱建》两书似得此意,乃说之不详,亦无由得其会通。不揆浅陋,本刘氏之书,以加、减、乘、除为纲,以《九章》分注而辨明之。
        

清·焦循《加减乘除释》卷一

        【评】焦循概括了加减乘除四则运算对数学运算和解决数学问题的意义,把中国古代的算术理论提高到一个新的阶段。
        以甲加乙,或以乙加甲,其和数等 ^①。于和数减甲得乙,减乙得甲 ^②。其较数必不等 ^③。
        

清·焦循《加减乘除释》卷一

        【评】①此即今所谓加法交换律。焦循说:“论数之理,取于相通,不遍举数,而以甲、乙明之。”甲、乙……相当于a、b……。此表示a+b=b+a。②此即(a+b) a=b,(a+b)-b=a。③此即a-b≠b-a,即减法不满足交换律。
        或先以甲、乙相加,后加以丙,或先以乙、丙相加,后加以甲,或先以甲、丙相加,后加以乙,其得数皆同 ^①。
        

清·焦循《加减乘除释》卷三

        [注]①此为加法结合律:(a+b)+c=(b+c)+a=(a+c)+b,当然也应用了交换率。
        若乙丙之差如甲乙之差,则以乙加乙,以丙加甲;或以乙减甲,以丙减乙,其差皆平①。以乙加甲,以丙减乙,差之增,如乙、丙之和加甲、乙之差②。以乙加乙,以丙减甲,差之变如乙、丙之和减甲、乙之差③。
        

清·焦循《加减乘除释》卷一

        [注]①此表示若b-c=a-b,则(b+b)-(a+c)=0,(a-b)-(b-c)-0。②此表示:(a+b)-(b-c)-(c+b)+(a-b)。③此表示:(b+b)-(a-c)=(c+b)-(a - b)。
        减乙于甲而加丙,则甲少一丙乙之差 ^①;减丙于甲而加乙,则甲多一丙乙之差 ^②。
        

清·焦循《加减乘除释》卷一

        [注]①此表示:(a-b)+c=a-(b-c)。②此表示:(a-c)+b=a+(b-c)。
        【评】焦循此处提出了完整的加法交换律、结合律。
        以甲乘乙,尤之以乙乘甲也 ^①。
        

清·焦循《加减乘除释》卷三

        [注]①此为乘法交换律:ab=ba。
        三数相乘为连乘,或先以乙乘甲,连以丙乘之;或先以丙乘乙,连以甲乘之;或先以甲乘丙,连以乙乘之,其得数皆等 ^①。
        

清·焦循《加减乘除释》卷三

        [注]①此为乘法结合率:(ab)c=(bc)a= (ca)b。
        【评】焦循明确提出了乘法交换律和结合律。