互乘相消法

        今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五.直金八两。问牛、羊各直金几何?
        术曰:如方程。(刘徽注:假令为同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十、羊四,直金二十两;左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。以少行减多行,则牛数尽,惟羊与直金之数见,可得而知也。以小推大,虽四五行不异也。)
        

汉《九章算术·方程》

        【评】刘徽在此提出了互乘相消法,是比直除法更好的线性方程组解法。然当时似乎两者并存,前者并未取代后者。
        术曰(原注:本倍折减损之问,初无活法,今述此意):排列逐项问数。(原注:某物某物共直几钱为一行,某物某物共直几钱为一行。)命首位物多者为主。(原注:彼七此五,以七为多。)以邻行数增乘求等。(数等可以减损。)馀物与价(原注:即总数也。)亦例乘之。(原注:一物既增,馀物与价亦各升为一体。)以原多物行内数目对减,(原注:谓物减物,钱减钱,求轻一位。)其馀次第增减。(原注:增少与多数为停,如求对除,以求位简。)价可为实,物可为法而止。(原注:法、实皆一位也。)以法除之。(原注:商除。)

        《九章算术·方程》宋·贾宪细草
        (见《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》引)

        术曰:以所求率互乘邻行,(原注:齐所求之率。[此五字原本误作大字,今校正。])以少减多。(原注:去其求率。)再求减损。(原注:位繁者再求,即上文之意,不过欲其位简。)钱为实,物为法,实如法而一。
        

《九章算术·方程》宋·贾宪细草

        【评】《九章算术》的方程术具有普适性,然借助禾阐明。《孙
        子算经》、《张丘建算经》则只有具体题目的细草。以上两条表明,贾宪使方程术更加抽象化,并且更多地使用刘徽的互乘相消法。杨辉的《九章纂类》抄录了后一条作为方程法。
        术曰:以方程求之,正负入之。列积及物数于下,布行数,各对本色。有分者通之,可约者约之,为定率积。列数每以下项互遍乘之,每视其积,以少减多,其下物数,各随积正负之类,如同名相减,异名相加,正无人负之,负无人正之;其如同名相加,异名相减,正无人正之,负无人负之,使其下项物数得一数者为法,其积为实,实如法而一。所得不计遍损或益诸积,各得法实,除之,馀仿此。
        

宋·秦九韶《数书九章·市物类》

        【评】秦九韶进一步继承刘徽、贾宪的互乘相消法,他的计算程序与今中学解线性方程组的方法无异。在同卷的“均货推本”问中又提出“从省,乃择其诸行本色,可求等”,以等数约,然后再互乘,更化简了计算。不过,秦九韶将积(实)布在每行的最上方,与贾宪以前不同。