岚峰垛

        今有茭草三千三百六十七束,欲令岚峰形垛之,问底子几何?
        术曰:立天元一为岚峰底子,如积求之,得八万八百八,为益实,二为从方,九为从上廉,十为从下廉,三为从隅,三乘方开之①,合问。
        草曰:立天元一为岚峰底子,三之,得,加一得,以天元乘之,得,又以天元加一,得,乘之,得,又以天元加二,得,乘之,得,合以二十四除之,为共积 ^②。今不除,便为二十四段共积,寄左。乃以二十四通共束,得八万八百八,为同数,消左,得,开三乘方,得十二束,合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

        [注]①此为四次开方式3x ⁴+10x ³+9x ²+2x-80808=0。②此为三阶等差级数1,6,18,40,75,……的前n项和公式:其通项为三角垛之和再乘以项数。
        今有茭草五万三百八十八束,欲令岚峰更落一形垛之,问底子几何?
        术曰:立天元一为岚峰更落一底子,如积求之,得六百四万六千五百六十为益实,六为从方,三十五为从上廉,五十为从二廉,二十五为从三廉,四为正隅,四乘方开之 ^①,合问。
        草曰:立天元一为岚峰更落一底子,四元加一,得,以天元乘之,得,又以天元加一,得,乘之,得。又以天元加二,得,乘之,得,又以天元加三,得,乘之,得,合以一百二十除之,为共积 ^②。今不除,便为一百二十段共积,寄左。乃以一百二十通共束,得六百四万六千五百六十,为同数,消左,得,开四乘方,得十六束,合问。
        

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

        [注]①此为五次开方式4x ⁵+ 25x ⁴ + 50x ³ + 35x ² + 6x-6046560=0。②此为四阶等差级数1,8,30,80,175,336,……的前n项之和公式:

此级数在果垛叠藏门第四问称作三角岚峰形垛,其通项为三角落一形垛之和乘项数。
        【评】以上两条为朱世杰对岚峰形垛的研究,表明朱世杰已懂得下述公式:

        若p=2就是岚峰形垛,p=3就是三角岚峰形垛。
        一乘支垛者,三角一乘垛之分支也。方垛即两个三角一乘垛,一自一层起,一自二层起。谓之方垛者,逐层并之,皆成平方积也。第一垛合两个三角二乘垛而成,一自一层起,一自二层起。第二垛合两个三角三乘垛而成,一自一层起,一自二层起。第三垛以下仿此。
        一乘支垛有高求积术:
        方垛:以高自乘即得。
        第一垛:倍高加一,以高乘之,又以高加一乘之,为实,二、三相乘为法,即得。
        第二垛:倍高加二,以高乘之,又以高加二乘之,又以高加一乘之,二、三、四连乘为法,即得。
        第三垛:倍高加三,以高乘之,又以高加三乘之,又以高加二乘之,又以高加一乘之,为实,二、三、四、五连乘为法,即得。
        第四垛:倍高加四,以高乘之,又以高加四乘之,又以高加三乘之,又以高加二乘之,又以高加一乘之,为实,二、三、四、五、六连乘为法,即得。
        第五垛以上可类推。
        ……
        二乘支垛者,三角二乘垛之分支也。方垛即三个三角一乘垛,其一自一层起,其二自二层起。甲垛即三个三角二乘垛,其一自一层起,其二自二层起。曰方垛甲垛者,乃垛之萌芽,尚未成垛,不得谓之第一第二垛,故异其称也。第一垛合三个三角三乘垛而成。第二垛合三个三角四乘垛而成。第三垛合三个三角五乘垛而成,皆一自一层起,二自二层起。第四垛以下可类推。三乘支垛以下理俱同。
        二乘支垛有高求积术:
        方垛:三倍高减一,以高乘之,为实,二为法,得积。
        甲垛:三倍高,以高乘之,又以高加一乘之,为实,二、三相乘为法,得积。
        第一垛:三倍高加一,以高乘之,又以高加一、高加二连乘之为实,二、三、四连乘为法,得积。
        第二垛:三倍高加二,以高乘之,又以高加一、高加二、高加三连乘之为实,二、三、四、五连乘为法,得积。
        第三垛:三倍高加三,以高乘之,又以高加一、高加二、高加三、高加四连乘之为实,二、三、四、五、六连乘为法,得积。
        第四垛以下可类推。
        ……
        三乘支垛者,三角三乘垛之分支也。
        三乘支垛有高求积术:
        方垛:四倍高减二,以高乘之,为实,二为法,得积。
        甲垛:四倍高减一,以高乘之,又以高加一乘之,为实,二、三相乘为法,得积。
        乙垛:四倍高,以高乘之,又以高加一乘之,又以高加二乘之,为实,二、三、四连乘为法,得积。
        第一垛:四倍高加一,以高乘之,又以高加一、高加二、高加三迭乘之,为实,二、三、四、五连乘为法,得积。
        第二垛:四倍高加二,以高乘之,又以高加一、高加二、高加三、高加四迭乘之,为实,二、三、四、五、六连乘为法,得积。
        第三垛:四倍高加三,以高乘之,又以高加一、高加二、高加三、高加四、高加五迭乘之为实,二、三、四。五、六、七连乘为法,得积。
        第四垛以下可类推。
        ……
        

清·李善兰《垛积比类》卷一(《则古昔斋算学》)

        【评】以上为李善兰对m-1乘支垛积公式的系统总结:

        朱世杰实际上已使用了这一公式。