数书九章
《数书九章》,本名《数术》,又称《数术大略》、《数学大略》、《数学九章》,是中国古代重要数学著作,宋元数学高潮的代表作之一。南宋秦九韶撰。南宋及元、明无刻此书的记载。明修《永乐大典》将此书分类抄录,题称《数学九章》。清乾隆中开《四库全书》馆,馆臣从《永乐大典》中辑出该书,凡9卷,校勘后抄入《四库全书》。李锐(1768—1817)由《四库全书》本录得一抄本,再加校注。明万历间常熟赵琦美藏有一抄本,名《数书九章》,9类,18卷,系文渊阁藏本的辗转抄本。清嘉庆间,此本为张敦仁(1754—1834)所得。道光初,沈钦裴校勘是书,以老病未卒业,其弟子宋景昌绍其志,汇合各家校注,并撰《札记》4卷,道光二十二年(1842)由上海郁松年刻入《宜稼堂丛书》,是为最流行的版本。此后《古今算学丛书》、《丛书集成初编》、《国学基本丛书》诸本皆宗于此。
秦九韶(约1202—约1261),自称鲁郡(今山东省曲阜、兖州一带)人,生于普州安岳县(今四川省安岳县),一说秦风间人,当是误传,南宋数学家、天文学家。其父秦季槱,绍熙进士,曾任太守、知府、秘书少监等职,九韶青少年 一直随父在任所,得在杭州从隐君子受数学,向太史学习天文学。成年后在今湖北、安徽、江浙一带作过地方官,并注意收集研究数学问题。淳祐七年(1247)丁母忧解职家居期间完成本书。他在自序中提出“数与道非二本”的观点,认为数学“大则可以通神明,顺性命,小则可以经世务,类万物”,而自己的研究则在经世务、类万物方面。他批驳了轻视数学、不认真学习数学知识的错误态度,全面论述了数学在国计民生各个领域中的巨大作用,本书便是他“设为问答以拟于用”的总结。九韶晚年任琼州守、司农司丞,贾似道专权误国,迫害吴潜党人,九韶被株连,窜之梅州,在梅治政不辍,卒于任所。九韶参与了贾、吴之争,被迫随贾的周密、刘克庄丑诋不堪,而九韶之履历,多赖此以传。清学者焦循(1763—1820)曾为之辨诬。关于九韶之人品,仍是 一个悬案,然他“性极机巧,星象、音律、算术以至营造等事无不精究”,“游戏、毬、马、弓、剑,莫不能知”,则是公认的。
本书包括大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易凡9类,18卷,81问,20余万字,每类2卷,9问。大衍类是以一次同余式组解法解决各种实际问题。所谓一次同余式问题就是求满足同余式组N≡Ri(madai) (i=1,2,……n)的正整数N,上式的直观意义是N以ai数之,剩R i,数学上称N、R i对模ai同余, i＝1,2,……n。这类问题在中国数学著作中最先见之于《孙子算经》物不知数问;而天文学家制定历法计算上元积年时,也要解同余式组。然而前者失之于过简,后者未形成系统方法,所谓“历家虽用,用而不知”,甚或误认为线性方程组解法。本书的大衍总数术比较系统地解决了这个问题。其基本思想是:在诸ai两两无公约数(相当于今两两互素)时,若能求出诸k i,使
k ia 1a 2…a i- 1a i+ 1…a n≡1(moda i),i=1,2,…n,则N≡R ik ia 1a 2…a i- 1a i+ 1…a n (moda 1a 2…an)。为求出诸k i,首先利用同余式的传递性:若a1a2…ai- 1a i+ 1…an>ai,而a 1a 2…a i- 1ai+ 1…a n≡g i(moda i),0〈g i〈a i,则k ig i≡1(moda i)与k ia 1a 2… ai-1a i+ 1…a n≡1(mod a i)等价;继而用 gi与 ai辗转相除,及一整套计算程序,求出满足要求的ki,诸ki称为乘率。因计算乘率的辗转相除要到右上奇一而一,因而把求乘率ki的方法称作大衍求一术,它是大衍总数术的核心。 而实际问题中诸问数ai的情况极复杂,有分数、小数及有公因子等各种情况,大衍总数术针对各种情况,提出了不同的程序将它们化成两两无公因子的情况。尽管由于中国古代没有素数及互素概念,化约过程中走了些弯路,但这毕竟是在世界上第一次系统解决这类问题。在欧洲,现代数学大师欧拉、高斯才达到这种水平。本书用大衍总数术解决了历法制定、土木建筑、利息、追及以至断案等各种实际问题,还用来附会《周易》大衍之数的计算,这便是为什么秦九韶把这种方法冠以“大衍”的名称。大衍求一术及蓍卦发微题草中有“天元一”,清《四库》馆臣误以为即天元术,焦循撰《天元一释》为之辨正,今《辞源》仍悉用《四库》馆臣的错误看法。
本书第2-9类按应用对象分类,第2天时类解决历法制定、天象测算、测算降雨降雪量等中的数学问题,其中的天池盆是世界文化史上最早的雨量器。第3田域类。计算了各种形状的田地面积计算的复杂问题,反映了江南人民围海、围湖造田的创举。第4测望类是测望山、水、城、塔,修复古迹及测望敌军的远近等问题。第5赋役类是关于田赋、户税问题,反映了南宋赋税的实际情况,如复邑修赋问是计算曾被海水淹没的大片土地重新修复后六乡九等田按各乡人数、田地等级分配每亩田应出的苗米、和买、夏税,问题的答案有180多项。第6钱谷类是征购米粮和仓库容积问题,设计了由于南宋各地加大量器,增加田租造成量器混乱而出现的数学计算问题,记载了南宋发行世界上最早的纸币会子及新旧会子的兑换情况。第7营建类是建筑各种城邑、台亭以及开挖河渠、修造石坝中的数学问题,其中计造清台问是世界上现存最早的天文台设计图。第8军旅类是关于营盘布置,测算敌方人数,以及军需供应等方面的数学问题。将军旅类列为一类,加上测望类的2个望敌题目,共11个军事问题,这在中国古代重要数学著作中是仅见的,这是秦九韶所处的时代边患严重,宋金、宋元战争激烈的反映,并体现了秦九韶将自己丰富深邃的数学知识为抗元战争服务的主战派立场。第9市物类处理国内外商业贸易和利息问题,反映了当时从海外进口香料,官方颁行的盐钞、度牒等有价证券在海外取得信用的情况。总之,本书继承了《九章算术》开创的数学理论密切社会实际需要的优良传统,关于南宋社会经济情况记述之翔实,不亚于《宋史》。
本书第2-9类用到了《九章算术》以来的许多数学方法,并有了创造性的发展。其中,最重要的是以增乘开方法为主导的正负开方术,即现今求高次方程正根的秦九韶程序。这种方法在西方称为霍纳法,或霍纳-鲁菲尼方法,是意大利数学家鲁菲尼和英国数学家霍纳在19世纪初创造的,比秦九韶晚出近六百年。增乘开方法是北宋数学家贾宪创造的,它以随乘随加代替以往开方中一次利用贾宪三角各廉相乘,变乘为加,程序整齐简便。12世纪刘益又引入负系数开方。本书的正负开方术则把增乘开方法发展到十分完备的程度:规定常数项永为负,相当于把方程常数项从右端移到左端,于是可把随乘随加进行到底;方程系数可正可负,可为分数,亦可为小数,并针对系数为无理数,开方过程中常数项绝对值变大,或由负变正等不同情况,创造了不同的处理方法,后两种情况分别称为换骨和投胎;开方不尽时,秦九韶继承刘徽求微数的方法,以十进小数表示无理根的近似值,本书十进小数的记法与现今十分相近(用单位作为小数点),为中国成为世界上最早使用小数的国家作出了贡献。本书中共21个问题用开方术解决,含有32个二次或更高的开方式,其中二次26个,三次1个,四次4个,十次1个。值得注意的是遥度圆域和三斜求积等问,前者在列十次方程时用到了勾股差率,是另一种勾股数通解公式,后者含有用三角形三边求其面积的公式,与古希腊海伦公式暗合,此公式还用于斜荡求积、计地容民等问题的解决。
《九章算术》的方程术即线性方程组解法中用直除法,刘徽创造了互乘相消法,但近千年未引起人们的重视,本书卷三缀术推星,卷十七推求物价、均货推本三问用方程术求解,完全废止了直除法,提出了互乘相消法的完整术文,与今之解法无异,是个贡献。在有的题目中,在互乘前先进行约简,更简化了运算程序。
本书数学成就之高深,题设之复杂,都远远超过了以往同类著作。但是,也有不容忽视的缺点,主要是计算错误太多,几乎每类问题都有可指责的术、草,而且愈是浅显的问题,错误愈多。
秦九韶(约1202—约1261),自称鲁郡(今山东省曲阜、兖州一带)人,生于普州安岳县(今四川省安岳县),一说秦风间人,当是误传,南宋数学家、天文学家。其父秦季槱,绍熙进士,曾任太守、知府、秘书少监等职,九韶青少年 一直随父在任所,得在杭州从隐君子受数学,向太史学习天文学。成年后在今湖北、安徽、江浙一带作过地方官,并注意收集研究数学问题。淳祐七年(1247)丁母忧解职家居期间完成本书。他在自序中提出“数与道非二本”的观点,认为数学“大则可以通神明,顺性命,小则可以经世务,类万物”,而自己的研究则在经世务、类万物方面。他批驳了轻视数学、不认真学习数学知识的错误态度,全面论述了数学在国计民生各个领域中的巨大作用,本书便是他“设为问答以拟于用”的总结。九韶晚年任琼州守、司农司丞,贾似道专权误国,迫害吴潜党人,九韶被株连,窜之梅州,在梅治政不辍,卒于任所。九韶参与了贾、吴之争,被迫随贾的周密、刘克庄丑诋不堪,而九韶之履历,多赖此以传。清学者焦循(1763—1820)曾为之辨诬。关于九韶之人品,仍是 一个悬案,然他“性极机巧,星象、音律、算术以至营造等事无不精究”,“游戏、毬、马、弓、剑,莫不能知”,则是公认的。
本书包括大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易凡9类,18卷,81问,20余万字,每类2卷,9问。大衍类是以一次同余式组解法解决各种实际问题。所谓一次同余式问题就是求满足同余式组N≡Ri(madai) (i=1,2,……n)的正整数N,上式的直观意义是N以ai数之,剩R i,数学上称N、R i对模ai同余, i＝1,2,……n。这类问题在中国数学著作中最先见之于《孙子算经》物不知数问;而天文学家制定历法计算上元积年时,也要解同余式组。然而前者失之于过简,后者未形成系统方法,所谓“历家虽用,用而不知”,甚或误认为线性方程组解法。本书的大衍总数术比较系统地解决了这个问题。其基本思想是:在诸ai两两无公约数(相当于今两两互素)时,若能求出诸k i,使
k ia 1a 2…a i- 1a i+ 1…a n≡1(moda i),i=1,2,…n,则N≡R ik ia 1a 2…a i- 1a i+ 1…a n (moda 1a 2…an)。为求出诸k i,首先利用同余式的传递性:若a1a2…ai- 1a i+ 1…an>ai,而a 1a 2…a i- 1ai+ 1…a n≡g i(moda i),0〈g i〈a i,则k ig i≡1(moda i)与k ia 1a 2… ai-1a i+ 1…a n≡1(mod a i)等价;继而用 gi与 ai辗转相除,及一整套计算程序,求出满足要求的ki,诸ki称为乘率。因计算乘率的辗转相除要到右上奇一而一,因而把求乘率ki的方法称作大衍求一术,它是大衍总数术的核心。 而实际问题中诸问数ai的情况极复杂,有分数、小数及有公因子等各种情况,大衍总数术针对各种情况,提出了不同的程序将它们化成两两无公因子的情况。尽管由于中国古代没有素数及互素概念,化约过程中走了些弯路,但这毕竟是在世界上第一次系统解决这类问题。在欧洲,现代数学大师欧拉、高斯才达到这种水平。本书用大衍总数术解决了历法制定、土木建筑、利息、追及以至断案等各种实际问题,还用来附会《周易》大衍之数的计算,这便是为什么秦九韶把这种方法冠以“大衍”的名称。大衍求一术及蓍卦发微题草中有“天元一”,清《四库》馆臣误以为即天元术,焦循撰《天元一释》为之辨正,今《辞源》仍悉用《四库》馆臣的错误看法。
本书第2-9类按应用对象分类,第2天时类解决历法制定、天象测算、测算降雨降雪量等中的数学问题,其中的天池盆是世界文化史上最早的雨量器。第3田域类。计算了各种形状的田地面积计算的复杂问题,反映了江南人民围海、围湖造田的创举。第4测望类是测望山、水、城、塔,修复古迹及测望敌军的远近等问题。第5赋役类是关于田赋、户税问题,反映了南宋赋税的实际情况,如复邑修赋问是计算曾被海水淹没的大片土地重新修复后六乡九等田按各乡人数、田地等级分配每亩田应出的苗米、和买、夏税,问题的答案有180多项。第6钱谷类是征购米粮和仓库容积问题,设计了由于南宋各地加大量器,增加田租造成量器混乱而出现的数学计算问题,记载了南宋发行世界上最早的纸币会子及新旧会子的兑换情况。第7营建类是建筑各种城邑、台亭以及开挖河渠、修造石坝中的数学问题,其中计造清台问是世界上现存最早的天文台设计图。第8军旅类是关于营盘布置,测算敌方人数,以及军需供应等方面的数学问题。将军旅类列为一类,加上测望类的2个望敌题目,共11个军事问题,这在中国古代重要数学著作中是仅见的,这是秦九韶所处的时代边患严重,宋金、宋元战争激烈的反映,并体现了秦九韶将自己丰富深邃的数学知识为抗元战争服务的主战派立场。第9市物类处理国内外商业贸易和利息问题,反映了当时从海外进口香料,官方颁行的盐钞、度牒等有价证券在海外取得信用的情况。总之,本书继承了《九章算术》开创的数学理论密切社会实际需要的优良传统,关于南宋社会经济情况记述之翔实,不亚于《宋史》。
本书第2-9类用到了《九章算术》以来的许多数学方法,并有了创造性的发展。其中,最重要的是以增乘开方法为主导的正负开方术,即现今求高次方程正根的秦九韶程序。这种方法在西方称为霍纳法,或霍纳-鲁菲尼方法,是意大利数学家鲁菲尼和英国数学家霍纳在19世纪初创造的,比秦九韶晚出近六百年。增乘开方法是北宋数学家贾宪创造的,它以随乘随加代替以往开方中一次利用贾宪三角各廉相乘,变乘为加,程序整齐简便。12世纪刘益又引入负系数开方。本书的正负开方术则把增乘开方法发展到十分完备的程度:规定常数项永为负,相当于把方程常数项从右端移到左端,于是可把随乘随加进行到底;方程系数可正可负,可为分数,亦可为小数,并针对系数为无理数,开方过程中常数项绝对值变大,或由负变正等不同情况,创造了不同的处理方法,后两种情况分别称为换骨和投胎;开方不尽时,秦九韶继承刘徽求微数的方法,以十进小数表示无理根的近似值,本书十进小数的记法与现今十分相近(用单位作为小数点),为中国成为世界上最早使用小数的国家作出了贡献。本书中共21个问题用开方术解决,含有32个二次或更高的开方式,其中二次26个,三次1个,四次4个,十次1个。值得注意的是遥度圆域和三斜求积等问,前者在列十次方程时用到了勾股差率,是另一种勾股数通解公式,后者含有用三角形三边求其面积的公式,与古希腊海伦公式暗合,此公式还用于斜荡求积、计地容民等问题的解决。
《九章算术》的方程术即线性方程组解法中用直除法,刘徽创造了互乘相消法,但近千年未引起人们的重视,本书卷三缀术推星,卷十七推求物价、均货推本三问用方程术求解,完全废止了直除法,提出了互乘相消法的完整术文,与今之解法无异,是个贡献。在有的题目中,在互乘前先进行约简,更简化了运算程序。
本书数学成就之高深,题设之复杂,都远远超过了以往同类著作。但是,也有不容忽视的缺点,主要是计算错误太多,几乎每类问题都有可指责的术、草,而且愈是浅显的问题,错误愈多。
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