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勾股数
今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何? 术曰:令七自乘,三亦自乘,并而半之,以为甲邪行率。邪行率减于七自乘,馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步,以甲邪行率乘之。副置十步,以乙东行率乘之,各自为...
五家共井
今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,以丙一绠;丙四绠不足,以丁一绠;丁五绠不足,以戊一绠;戊六绠不足,以甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何? 术曰:如方程,以正负术入之。(刘徽注:此率初如方程为之,名各一逮井。其后,法得七百二十一...
百鸡术
今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三;鸡雏三,直钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何? 答曰:鸡翁四,直钱二十;鸡母十八,直钱五十四;鸡雏七十八,直钱二十六。又答:鸡翁八,直钱四十;鸡母十一,直钱三十三;鸡雏八十一,直钱二十七。又答:鸡翁十二,直钱六十;鸡...
素数
凡数,他数度之不能尽,惟一可度尽者,谓之数根…… 屡乘求一考数根法:法以用数之诸方积,或大于本数,或大于半数之半者,与本数相减,馀为乘法,乘法自乘,或再乘,以本数度之,不尽,复以乘法乘之,以本数度之,如之递求。至不尽数为诸正数,或诸负数,而止。乃计共用乘法...
表示法
其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上 ① 。阴阳升降,进退左右,互通变化,错综无穷。其于盈绌隐互,正负方程,演段开方之术,精妙元绝。 《四元玉鉴》元·莫若序 以元气居中,立天勾、地股、人弦、物黄方,考图明之 ① 。上升下降,左右进...
四元消法
两仪化元 今有股幂减弦较较与股乘勾等 ① ,只云勾幂加弦较和与勾乘弦同 ② 。问股几何? 草曰:立天元一为股,地元一为勾弦和。天地配合,求之得今式,求到云式，互隐通分，消之，内二行得式，外二行得，两位相消得开方式，平方开之，得股四步，合问。 罗士琳补草...
等差级数
今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升。问中间二节欲均容,各多少? 术曰:以下三节分四升为下率,以上四节分三升为上率。(刘徽注:此二率者,各其平率也。)上、下率以少减多,馀为实。(刘徽注:按:此上、下节各分所容为率者,各其平率。上、下以少减多者,馀为中间五...
隙积术
算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类,物形备矣,独未有“隙积”一术。古法,凡算方积之物,有“立方”,谓六幂皆方者,其法再自乘则得之。有“堑堵”,谓如土墙者,两边杀,两头齐,其法:并上下广,折半以为之广,以直高乘之,又以直高...
三角垛
今有茭草,底子每面五十四束,问积几何? 术曰:副置五十四束,下位添一束,以乘上位,得二千九百七十,半之,得积 ① ,合问。 元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》 〔注〕①此实际上给出了自然数列1,2,3,……前n项和公式S=n(n+1)。它是朱世杰高阶等差级数研究的开端。...
四角垛
今有四角落一形果子积五百四十个,问底子几何? 术曰:立天元一为四角落一底子,如积求之,得六千四百八十为益实,二为从方,五为从上廉,四为从下廉,一为正隅,三乘方开之 ① ,合问。 草曰:立天元一为四角落一底子,加一得,乘天元,得,又以天元加一乘之,得,又以天元加...
岚峰垛
今有茭草三千三百六十七束,欲令岚峰形垛之,问底子几何? 术曰:立天元一为岚峰底子,如积求之,得八万八百八,为益实,二为从方,九为从上廉,十为从下廉,三为从隅,三乘方开之①,合问。 草曰:立天元一为岚峰底子,三之,得,加一得,以天元乘之,得,又以天元加一,得,乘之,...
乘方垛
太垛迭单数而成。元垛迭根数而成。一乘方垛迭平方而成。二乘方垛迭立方而成。三乘方垛迭三乘方而成。四乘方垛以上可类推 ① 。又太垛递减一迭成元垛。元垛从顶起递去一层迭成一乘方垛。一乘方垛从顶起递去一层迭成二乘方垛。二乘方垛从顶起递去一层迭成三乘...
招差法
今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,每人日支钱二百五十文,已招二万三千四百人,支钱二万三千四百六十二贯。问招来几日 ① ? 术曰:立天元一为三角落一底子,如积求之,得九万二千七百三十六为益实,六百六十为从方,一百八十一为从上廉,二十二为从...
开平方术
开方(刘徽注:求方幂之一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。(刘徽注:言百之面十也,言万之面百也。)议所得,以一乘所借一算为法,而以除①。(刘徽注:先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。)除已,倍法为定法。(刘徽注:倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,...
开立方术
开立方(刘徽注:立方适等,求其一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。(刘徽注:言千之面十,言百万之面百。)议所得,以再乘所借一算为法,而除之。(刘徽注:再乘者亦求为方幂,以上议命而除之,则立方等也。)除已,三之为定法。(刘徽注:为当复除,故豫张三面,以...
贾宪三角
开方作法本源(杨辉注:出释锁算书 ① ,贾宪用此术。) 增乘方求廉法草曰(原注:释锁求廉本源):列所开方数(原注:如前,五乘方列五位,隅算在外。)以隅算一,自下增入前位,至首位而止。(原注:首位得六,第二位得五,第三位得四,第四位得三,下一位得二。)复以隅算如前升...
益积术与减从术
中山刘先生作《议古根源》……撰成直田演段百问,信知田体变化无穷,引用带从开方正负损益之法,前古之所未闻也。 宋·杨辉《田亩比类乘除捷法序》 刘益以勾股之术治演段锁方,撰《议古根源》二百问,带益隅 ① 开方,实冠前古。 宋·杨辉《算法通变本末》卷上 [注...
增乘开方法
增乘开平方法 ① (原注:以商数乘下法,递增求之。):商第一位。上商得数以乘下法为乘方,命上商除实。上商得数以乘下法,入乘方。〔以上两“乘方”,《九章纂类》及此下“增乘开平方图”作“平方”。〕一退为廉,下法再退。商第二位,商得数以乘下法为隅,命上商除实...
之分法
……得,合以平方开之 ① 。今不可开。[四库馆臣案:不可开者,谓廉、隅数多,而得数又不能尽也。]先以隅法二十二步半乘实二万三千单二步,得五十一万七千五百四十五步正,为实。元从六百四十八负,依旧为从。一,益隅。平方开之,得四百六十五步。以元隅二十二步半约...
根与系数的关系
以不知为知,不可也,而犹可也,以不可知为知,大不可也。何可乎以不知为知,何不可乎以不可知为知?物予我以知,我暂不知,会心焉,有待也。物不任我以知,我谬附以知,见魔焉,迷不反也。嗟乎,使物有知,不且笑知已乎。故曰:知其不可知,知也。辛酉仲秋……与[江]郑堂察...
负根和重根
凡商数为正。今令之为负。则凡平方皆可开二数,立方皆可开三数或一数,三乘方皆可开四数或二数。异名相步所得为正商,同名相步所得为负商 ① 。 清·李锐《开方说》卷中(见《李氏算学遗书》) [注]①以下作者的例题中说:“以正方步负实,异名相步,得正商”。“以...
天元术
予至东平 ① ,得一算经,大概多明如积之术。以十九字识其上、下层数。曰:仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极,而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅,而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式,皆以...
历程
平阳李德载因撰《两仪群英集臻》,兼有地元。霍山 ① 邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》,末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生演数有年,探三才之赜,索《九章》之隐,按天、地、人、物立成四元。 《四元玉鉴》元·祖颐后序 [注]①霍山在今山西省霍县。 【...
勾股生变图
勾股生变十三名图 ① 。勾、股、弦并而为和,减而为较,等而为变为段,自乘为积为幂。有用而取,无用不取,立图而验之。 勾 股 弦 勾 股 较 勾 弦 较 股 弦 较 勾 股 和 勾 弦 和 股 弦 和 弦 较 和 弦 和 和 弦 和 较 弦 较 较 释 名 直 田 阔 直 田 长 田 两 隅...
勾股容方
今有勾五步,股一十二步。问勾中容方几何? 术曰:并勾、股为法,勾股相乘为实,实如法而一,得方一步。 汉《九章算术·勾股》 【评】此为勾股容方问题。已知勾a,股b,则所容正方形边长d=。是为中国古代勾股算术中一类重要问题。 勾股相乘为朱、青、黄幂各二 ① 。...
勾股容圆
今有勾八步,股一十五步。问勾中容圆径几何? 术曰:八步为勾,十五步为股,为之求弦。三位并之为法。以勾乘股,倍之为实。实如法得径一步。 汉《九章算术·勾股》 【评】此为勾股形的内切圆圆径公式d=。勾股容圆问题在宋、元时发展为数学的一个重要分支,此为其滥...
一次测望
今有邑,东西七里,南北九里,各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几何步而见木? 术曰:东门南至隅步数,以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。 汉《九章算术·勾股》 此以东门南至隅四里半为勾率,出东门一十五里为股率,南门东至隅三里半为...
重差
以土圭之法测土深,正日景以求地中。日南则景短,多暑;日北则景长,多寒;日东则景夕,多风;日西则景朝,多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中,…… 《周礼·司徒·大司徒》 景尺有五寸者,南戴日下万五千里地,与星辰四游升降于三万里之中,是以半之,得地之中也。……郑...
方程术
今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何? 方程[原本无此二字,戴震补](刘徽注:程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再...
正负术
正负术曰(刘徽注:……方程自有赤、黑相取,法、实数相推求之术,而其并、减之势不得广通,故使赤、黑相消夺之。于算或减或益,同行异位殊为二品,各有并、减之差见于下焉。著此二条,特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程,减、益虽殊足以通左右之数...
方程新术
今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗,直钱一百四十;麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗,直钱一百二十八;麻三斗、麦五斗、椒七斗、荅六斗、黍四斗,直钱一百一十六;麻二斗、麦五半、菽三斗、荅九斗、黍四斗,直钱一百一十二;麻一斗、麦三斗、菽二...
互乘相消法
今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五.直金八两。问牛、羊各直金几何? 术曰:如方程。(刘徽注:假令为同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十、羊四,直金二十两;左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。以少行减多行,则牛数...
圆柱
(圆堢 )术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。 汉《九章算术·商功》 此章诸术亦以周三径一为率,皆非也。于徽术,当以周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,三百一十四而一。此之圆幂,亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田,而以高乘幂也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注...
圆亭
术曰:上下周相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三十六而一。 汉《九章算术·商功》 【评】这是已知圆台的上下周和高,求其体积的公式:V=(l 1 l 2 +l 1 2 +l 2 2 )h,其中l 1 ,l 2 ,h分别是圆台的上周,下周和高。它以周三径一为率,因而是不准确的。 此术周三径一之义...
球
开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。 汉《九章算术·少广》 【评】此为已知球体积求球径的方法,它基于周三径一之率及错误的球体积公式V=D 3 ,D为球直径。 为术者,盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三,圆囷居立方亦四分之三。...
勾股定理
故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方之外,半其一矩,环而共盘,得成三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。 汉《周髀算经》卷上 若求邪至日者,以日下为勾,日高为股。勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日。 汉《周髀算经》卷下 【评】这是《周髀算经》中有...
股弦较与勾求股弦
今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何? 术曰:半池方自乘,以出水一尺自乘,减之,馀,倍出水除之,即得水深。加出水数,得葭长。 汉《九章算术·勾股》 此以池方半之,得五尺为勾,水深为股,葭长为弦。以勾、弦见股,故令勾自乘,...
股弦和与勾求股弦
今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 术曰:以去本自乘,令如高而一,所得,以减竹高,而半馀即折者之高也。 汉《九章算术·勾股》 此去本三尺为勾,折之馀高为股,以先令勾〔原本脱“勾”字〕自乘之幂。凡为高一丈为股弦并,以除此幂得差。此术与系索之类...
勾股差与弦求勾股
今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何? 术曰:令一丈自乘为实。半相多,令自乘,倍之,减实,半其馀。以开方除之,所得,减相多之半,即户广。加相多之半,即户高。 汉《九章算术·勾股》 【评】此实际上是已知弦和勾股差求勾、股的问题: 令户广...
勾弦差股弦差求勾股弦
今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、衺〔原本“衺”误作“袤”,李潢校正,此条下同〕各几何? 术曰:从、横不出相乘,倍而开方除之。所得,加从不出,即户广;加横不出,即户高;两不出加之,得户衺 汉《九章算术·勾股》...
勾股圆方图
勾、股各自乘,并之为弦实。开方除之,即弦。按:弦图,又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实 ① 。以差实减弦实,半其馀,以差为从法,开方除之,复得勾矣。加差于勾,即股 ② 。 凡并勾、股之实即成弦实,或方于内,或矩于...
长方体
(方堢 )术曰:方自乘,以高乘之,即积尺。 汉《九章算术·商功》 【评】这是中国古代最早出现的长方体体积公式。值得注意的是,刘徽对此没有任何证明,是作为不言自明的真理。 术曰:置粟一万斛积尺为实,广袤相乘为法。实如法而一,得高尺。 汉《九章算术·商功》...
堑
城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。术曰:并上下广而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。 汉《九章算术·商功》 【评】许多体积公式先秦的中国人已经熟知,现存文献则以《九章算术》为最早。这是纵截面为相等梯形的平截体的体积公式:V=(b 1 +b 2 )ah。 按:此术...
堑堵
术曰:广袤相乘,以高乘之,二而一。 汉《九章算术·商功》 邪解立方得两堑堵。虽复随方 ① ,亦为堑堵,故二而一。此则合所规棋(原本作“幂”,钱宝琮校),推其物体,盖为堑上叠也。其形如城,而无上广,与所规棋形异而同实。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]...
方亭
(方亭)术曰:上下方相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三而一。 汉《九章算术·商功》 【评】这是正确的方台体积公式:V=(a 1 a 2 +a 1 2 +a 2 2 )h。其中V,a 1 ,a 2 ,h是方台的体积,上底边长,下底边长,高。 此章有堑堵、阳马,皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品,以...
方锥
(方锥)术曰:下方自乘,以高乘之,三而一。 汉《九章算术·商功》 按:此术假令方锥下方二尺,高一尺,即四阳马。如术为之,用十二阳马,成三方锥,故三而一,得方锥[原本作“阳马”,依李潢校正]也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】以上二段分别为方锥体积公...
阳马
术曰:广袤相乘,以高乘之,三而一 ① 。 汉《九章算术·商功》 阳马之形,方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①阳马是古代建筑中的术语,即今底面为长方形而一棱垂直于底面的四棱锥。术文表示阳马体积公式: V=abh 其中a,b,...
鳖腝
术曰:广袤相乘,以高乘之,六而一 ① 。 汉《九章算术·商功》 腝者,臂骨也。或曰,半阳马,其形有似鳖肘,故以名云。中破阳马得两鳖腝,之见数即阳马之半数。数同而实据半,故云六而一,即得。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①按《九章算术》题设此处鳖腝...
羡除
术曰:并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一。 汉《九章算术·商功》 按:此术羡 ① 除,实隧道也。其所穿地,上平下邪,似两鳖腝夹一堑堵,即羡除之形。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①羡,通“埏”,墓道。 【评】此二段分别是《九章算术》所提出羡除的体...
刍甍
术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而 汉《九章算术·商功》 推明义理者:旧说云,凡积刍甍有上下广曰童,甍谓其屋盖之茨也。是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正斩方亭两边,合之即刍甍之形也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】此二段分别...
刍童
刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。术曰:倍上袤,下袤从之;亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一。其曲池者,并上中、外周而半之,以为上袤;亦并下中、外周而半之,以为下袤。 汉《九章算术·商功》 【评】刍童、盘池、冥谷都是上下底为不相似...
长方形
方,柱隅四杂也。 《墨子·经上》 方,矩见攴 ① 也。 《墨子·经说上》 [注]①“攴”,孙诒让疑为“交”。 【评】这是墨家关于正方形的定义,以及用矩作正方形的方法。 方田术曰:广从 ① 步数相乘得积步。 汉《九章算术·方田》 [注]①中国古代东西曰广,南北曰...
三角形
(圭田)术曰:半广以乘正从。 汉《九章算术·方田》 【评】圭田是等腰三角形。这是其面积公式。后来人们把它当作一般三角形面积公式。 半广者,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按:半(宋本讹作“平”,依聚珍版改)广乘从,以取中平之数。故广从相乘为积步。...
梯形
(邪田 ① )术曰:并两邪而半之,以乘正从若广。又可半正从若广,以乘并,亩法而一。 汉《九章算术·方田》 (箕田 ② )术曰:并踵舌而半之,以乘正从。亩法而一。 汉《九章算术·方田》 [注]①邪田是梯形。②箕田是等腰梯形。 【评】这是梯形面积公式。刘徽也用“以...
多边形
(斜荡求积)术曰:以少广求之。置中长,乘北阔,半之,为寄。以中长幂减西斜幂,馀为实,以一为隅,开平方,得数,减北阔,馀自乘,并中长幂,共为内率。以小斜幂,并率,减中斜幂,馀半之,自乘于上。以小斜幂乘率,减上,馀,四约之,为实。以一为隅。开平方,得数。加寄,共为荡...
圆
圜,一中同长也。 《墨子·经上》 圜,规写攴 ① 也。 《墨子·经说上》 [注]①攴,孙诒让疑为“交”。 【评】这是墨家关于圆的定义,以及用规作圆的方法。 (圆田)术曰:半周半径相乘得积步。 又术曰:周径相乘,四而一。 又术曰:径自相乘,三之,四而一。 又术曰:周...
弓形
(弧田)术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。 汉《九章算术·方田》 【评】这是《九章》提出的弓形面积公式,历代沿用。刘徽指出它不精确,“若但度田,取其大数,旧术为约耳。” 方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方(原本误倒,依李潢校正)合外...
圆环
(环田)术曰:并中外周而半之,以径乘之,为积步。 汉《九章算术·方田》 【评】这是《九章》提出的圆环的面积公式,历代沿用:S=(l 1 +l 2 )d。其中S,l 1 ,l 2 ,d分别是环田面积,外周,中周及径(d=r 1 -r 2 )。 此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此...
圆锥
若令其(指方锥)中容圆锥,圆锥见幂 ① 与方锥见幂,其率犹方幂之与圆幂也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 [注]①见,读xian,见幂,侧面积。 【评】这里刘徽提出了正确的圆锥侧面积公式,并利用圆锥侧面积:方锥侧面积=π∶4的原理论证了它的正确性,考虑圆锥表...
运算定律
然名起于立法之后,理存于立法之先。理者何?加、减、乘、除四者之错综变化也。而四者之杂于《九章》,则不啻六书之声杂于各部。……盖《九章》不能尽加、减、乘、除之用,而加、减、乘、除可以通《九章》之穷。《孙子》、《张邱建》两书似得此意,乃说之不详,亦...
分数四则
物之数量,不可悉全,必以分言之。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 法实 ① 相推,动有参差,故为术者先治诸分。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 [注]①法,标准也。除法运算系以某数为标准分割另一数,故 引伸之,除数称为法,被除数称为实。法、实等术语又用...
公倍数
少广术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左,命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法。置所求步数,以全步积分乘之为实。实如法而一,得从步。 汉《九章算术·少广》 少广法曰:列置全步及分母子,而副置分...
率
凡数相与者谓之率。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 【评】率是中国古代数学的一个极其重要的概念,在数学运算中起着纲纪的作用。这是刘徽关于率的定义。 率者,自相与通。有分则可散,分重叠则约也。等除法实,相与率也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注...
齐同
凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同共一母也。齐者,子与母齐,势不可失本数也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 【评】齐同是中国古代数学的一种重要方法,也是关于率的一种重要等量变换。它源于分数的通分。 然则齐同之术要矣,错综度数,动之...
今有术
今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。 汉《九章算术·粟米》 【评】这是关于率的一种主要算法。若A∶B=a∶b,则B=Ab/a。后来贾宪、杨辉称之为互换乘除法。印度和欧洲称之为三率法。 此都术也。凡九数以为篇名,可以广施诸率,所谓告往而知...
分率术
其率术曰:各置所买石、钧、斤、两以为法,以所率乘钱数为实,实如法而一。不满法者反以实减法,法贱实贵。 汉《九章算术·粟米》 贵贱率除法曰:以出钱数为实,所买物数为法,实如法而一。实不满法者,以数为贵率,以实减法,为贱率也。 宋·杨辉《详解九章算法·纂类...
合率术
反用合分术曰:母互乘子为法,母相乘为实,实如法而一。 宋·杨辉《详解九章算法·纂类》 【评】合分术是合率术,在“四则运算·分数”已引用。此为合分术的逆运算,是杨辉在《九章算术》均输率“乘传委粟”、“凫雁”、“成瓦”、“成矢”、“假田”、“程耕”、...
衰分术
衰分术曰:各置列衰,副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。不满法者,以法命之。 汉《九章算术·衰分》 【评】这是完整的比例分配算法。列衰即是相与率。设所分为A,列衰为a i (i=1,2,…n),则每一部分A i ＝(i=1,2,…n)。 法集而衰别。数本一也,今以所...
盈不足术
盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,并,以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者,通之。盈不足相与同其买物者,置所出率,以少减多,馀,以约法、实。实为物价,法为人数。 汉《九章算术·盈不足》 【评】盈不足算法是中国古代一种重要方法,...
衡斋算学
吾宗先生衡斋曩著《算学》二册,巴君孟嘉既叙而行之。……先生出续著《算学》相授。其第三册补六宗三要之阙,第四册树弧角堆垛之准,第五册释秦九韶、李冶之惑,第六册摘若往呐白尔之瑕。延麟与读之馀,叹为不朽之制,然窃谓秦李二家久著于世,先生独加訾议,毋乃启...
开方说
右《开方说》三卷,吾师李四香先生所撰也。忆自庚午之冬,应南始从先生受算学,由《九章》兼及西法。甲戌之秋,以《开方说》见授,曰:“……爰著《开方说》三卷。上卷起例,发凡,胪列算式;中卷正负互易,平立代开,得数可定其大小,命分则齐以并差;下卷反覆推求,有义...
求表捷法
钱塘戴鄂士煦,《粤雅堂丛书》中刻其所著《求表捷术》三种,共九卷。其一曰《对数简法》、《续对数简法》,始以开方表求诸对数,继因假设对数(即讷白尔代数)以求定准对数(即十进对数),续悟开无量数乘方法,用连比例求诸对数,而得数益捷。此求对数表捷术也。曰《外...
制度
六年,教之数 ① 与方名 ② 。……九年,教之数日 ③ 。十年,出就外傅,居宿于外,学书计 ④ 。 《礼记·内则》 八岁入小学,学六甲五方书计之事。 《汉书·食货志》 [注]①宋王应麟(1223—1296)认为:数者,一至十也(《困学纪闻》卷五)。②王应麟认为方名即《汉书...
方法
其拙于精理徒按本术者,或用算而布毡,方好烦而喜误,曾不知其非,反欲以多为贵。故其算也,莫不暗于设通而专于一端。至于此类,苟务其成,然或失之,不可谓要约。更有异术者,庖丁解牛,游刃理间,故能历久其刃如新。夫数,犹刃也,易简用之,则动中庖丁之理。故能和神爱...
乘除法
凡乘之法,重置其位。上下相观,上位有十步至十,有百步至百,有千步至千。以上命下,所得之数列于中位。言十即过,不满自如。上位乘讫者先去之。下位乘讫者则俱退之。六不积,五不只。上下相乘,至尽则已。 南北朝《孙子算经》 【评】《九章算术》未列出整数四则运...
捷算法
今有绢二千四百五十四匹,每匹直钱一贯七百文。问计钱几何? 术曰:先置绢数,七添之,退位一等,即得 ① 。 《夏侯阳算经·说诸分》 [注]①这是将2454 × 1.7化成2454 × 17÷10,再化成(2454×10+2454×7)÷10计算,以加减代乘除,此谓身外加法。 今有两税钱四万三...
正负数运算
正负术曰:同名相除 ① ,异名相益。正无入负之,负无入正之 ② 。其异名相除,同名相益。正无入正之,负无入负之 ③ 。 汉《九章算术·方程》 [注]①“除”在中国古算中有两种含义,一为现今除法的“除”,一为减,此处为后者。②此四句为正负数减法法则。设a0,b0则...
割圜密率捷法
钦天监监正明静庵先生自童年亲受数学于圣祖仁皇帝,至老不倦,病革时以遗稿一帙嘱其子景臻,命际新续而成之,曰:“此《割圜密率捷法》也。内圜径求周、弧背求弦、求矢三法,本泰西杜氏德美所著,实古今所未有也。亟欲公诸同志,惜仅有其法而未详其义,恐人有金针不度...
作用
数者,一、十、百、千、万也,所以算数事物,顺性命之理也。《书》曰:“先其算命”。 《汉书·律历志》 【评】这是中国古代关于数学作用的较全面论述,既阐述了数学联系实际的主流,也含有数字神秘主义思想,这两者对后世影响极大。 夫推历生律制器,规圜矩方,权重...
体系
三曰六艺:礼、乐、射、御、书、数。 《周礼·司徒·大司徒》 保氏掌谏王恶,而养国子以道,乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九数。 《周礼·司徒·小司徒》 【评】数学是先秦贵族所必须掌握的六种技能之一。也是贵族子弟所学的六...
算筹
善数不用筹策。 《老子·第二十七章》 【评】算筹是中国迄宋元为止的主要计算工具,又称作算、策。《老子》的话表明它最晚在春秋时代已普遍使用了。 一少于二,而多于五,说在建 ① 。 《墨经·经下》 [注]①孙诒让认为“建”当作“进”。 五有一焉。一有五焉。...
珠算
珠算,控带四时,经纬三才。 甄鸾注:刻板为三分,其上下二分以停游珠,中间一分以定算位。位各五珠,上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五 ① 。其下四珠,珠各当一。至下四珠所领,故云控带四时。其珠游于三方之中,故云经纬三才也。 《数术记遗》 [注]①原文脱五,...
宇宙观
天地四方曰宇,往古来今曰宙。 《尸子》卷下 久 ① ,弥 ② 异时也。宇,弥异所也。 《墨经·经上》 [注]①久:这是时间概念的名词,即指宙。②弥:为遍或包含之意。 天地万物之橐也,宙合有橐天地。天地苴万物,故曰万物之橐。宙合之意,上通于天之上,下泉于地之下,...
科技观
大学之道,在明明德,在亲民,在止于至善。知止而后有定,定而后能静,静而后能安,安而后能虑,虑而后能得。物有本末,事有终始,知所先后,则近道矣。古之欲明明德于天下者,先治其国;欲治其国者,先齐其家;欲齐其家者,先修其身;欲修其身者,先正其心;欲正其心者,先诚其...
中国近代科技落后原因
或谓载籍燔于赢氏 ① ,三代之学多不传,则马郑 ② 诸儒先,相授何物?《唐六典》所列十经 ③ ,博士弟子五年而学成者,又何书也?由是言之,算数之学特废于近世数百年间尔。废之缘有二:其一为名理之儒土苴天下之实事;其一为妖妄之术谬言数有神理,能知来藏往,靡所不...
结绳
上古结绳而治,后世圣人易之以书契。 《周易·系辞》 【评】结绳、书契都是先民记数、记事的方法。郑玄称:“事大,大结其绳;事小,小结其绳,绳之多少,随物众寡。”《释名》云“契,刻也,刻识其数也。”...
伏戏造数
虑戏作造六峜,以迎阴阳,作九九之数,以合天道。 《管子·轻重篇》 【评】“九九”通常指九九乘法表,在《管子》、《易》、《礼记》、《萄子》等先秦典籍中都有记载;有时作为数学的代称,又称九数。这是数学起源于伏戏的传说,影响极大。自伏戏画八卦,由数起,至黄...
隶首造数
黄帝为法,数有十等。及其用也,乃有三焉。 《数术记遗》 【评】《数术记遗》的作者把隶首造数进一步推向黄帝造数,是为后来黄帝作《九章》之滥觞。 《系本》及《律历志》黄帝使羲和占日,常仪占月,臾区占星气,伶伦造律吕,大挠作甲子,隶首作算数,容成综此六术而...
规矩度量
古者倕为规矩、准绳,使天下效焉。 《尸子》卷下 工倕旋而盖规矩,指与物化而不以心稽。 《庄子·达生》 【评】倕为尧时巧工,这是关于倕造规矩的传说。 (禹)陆行乘车,水行乘船,泥行乘橇,山行乘辇,左准绳,右规矩,载四时以开九州,通九道。 《史记·夏本纪》 【评...
自然
数本难穷,吾欲以力强穷之,彼其数不惟不能得其凡,而吾之力且惫矣。然则数果不可以穷耶?既已名之数矣,则又何为而不可穷也。故谓数为难穷,斯可;谓数为不可穷,斯不可。何则?彼其冥冥之中,固有昭昭者存。夫昭昭者,其自然之数也。非自然之数,其自然之理也。数一出...
象
物生而后有象,象而后有滋。滋而后有数。 《春秋左传·僖公十五年》 【评】此本是论述卜筮,“筮,数也”。《后汉书》、《隋书》之《律历志》把它看成计算数字的起源。 古之人论数也,曰“物生而后有象,象而后有滋,滋而后有数”。然则天地初形,人物既著,则算数之...
大衍求一术
今有物,不知其数。三、三数之,剩二;五、五数之,剩三;七、七数之,剩二。问物几何? 术曰:三、三数之剩二,置一百四十;五、五数之剩三,置六十三;七、七数之剩二,置三十。并之,得二百三十三。以二百一十减之,即得。凡三、三数之剩一,则置七十;五、五数之剩一,则置...
椰树
椰树,高六、七丈,无枝条。叶如束蒲,在其上,实如瓠,系在于巅,若排物焉。实外有皮如胡卢。核里有肤,白如雪,厚半寸,如猪肤,食之美于胡桃味也。肤里有汁升馀,其清如水,其味美于蜜。 汉·杨孚《异物志》(引自后魏·贾思勰《齐民要术》卷一○) 椰,二月花色,仍连著...
甘蕉
芭蕉一曰“芭菹”,或曰“甘蕉”。茎如荷、芋,重皮相裹,大如盂升。叶广二尺,长一丈。子有角,子长六、七寸,有带蒂、四寸,角著蒂生,为行列,两两共对,若相抱形。剥其上皮,色黄白,味似葡萄,甜而脆,亦饱人。其根大[大字,衍]如芋魁,大一石,青色。其茎解散如丝,织以...
海桐
海桐……叶如手大,作三花尖,皮若梓,白皮而坚韧。 宋·苏颂《图经本草》(引自宋·唐慎微《重修政和经史证类备用本草》卷一三) 海桐皮……似桐皮黄白色。 《海药本草》(引自宋·唐慎微《重修政和经史证类备用本草》卷一三) 【评】这是迄今为止所见的描述海桐植...